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# Calculus_微积分_Math323 Continuity of a Function

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## Calculus_微积分_Definition and Some Basic Results

Definition 2.2.1 Let $f$ be a real valued function defined on a set $D \subseteq \mathbb{R}$. Then $f$ is said to be continuous at a point $x_0 \in D$ if for every $\varepsilon>0$, there exists a $\delta>0$ such that
$$\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon \text { whenever } x \in D,\left|x-x_0\right|<\delta .$$
The function $f$ is said to be continuous on $D$ if it is continuous at every point in D.

Note that, in the above definition, we did not assume that $x_0$ is a limit point of $D$. However, if we assume that $x_0$ is a limit point of $D$, then we have the following characterization of continuity.

Theorem 2.2.1 Let $x_0 \in D$ be a limit point of $D$. Then, for a function $f: D \rightarrow \mathbb{R}$, the following are equivalent.
(i) $f$ is continuous at $x_0$.
(ii) $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ exists and it is equal to $f\left(x_0\right)$.
(iii) For every sequence $\left(x_n\right)$ in $D, x_n \rightarrow x_0$ implies $f\left(x_n\right) \rightarrow f\left(x_0\right)$.
Recall that a point $x_0$ in an interval $I$ is a limit point of $I$ if and only if either $x_0 \in I$ or if $x_0$ is an endpoint of $I$. In this book, we shall consider continuity of functions which are defined on intervals.
Convention: When we say that $f$ is continuous at a point $x_0 \in \mathbb{R}$, we mean that $f$ is defined on an interval containing $x_0$ and $f$ is continuous at $x_0$.

Example 2.2.1 Let $f(x)=a_0+a_1 x+\cdots a_k x^k$ for some $a_0, a_1, \ldots, a_k$ in $\mathbb{R}$ and $k \in \mathbb{N}$. We know (cf. Example 2.1.8) that, for any $x_0 \in \mathbb{R}$,
$$\lim {x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right)$$ Hence, by Theorem $2.2 .1, f$ is continuous at every $x_0 \in \mathbb{R}$ (Fig. 2.9). Example 2.2.2 Let $f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}$ be as in Example 2.1.3, i.e., $$f(x)=\left{\begin{array}{l} 0,-1 \leq x \leq 0 \ 1,0{x \rightarrow 0} f(x) does not exist. Hence, by Theorem 2.2.1, f is not continuous at 0. Example 2.2.3 We have seen in Examples 2.1.10 and 2.1.11 that$$
\lim {x \rightarrow 0} \sin x=0, \quad \lim {x \rightarrow 0} \cos x=1, \quad \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 .
$$## Calculus_微积分_Some More Examples In the following examples a particular procedure is adopted to show continuity or discontinuity of a function. The reader may adopt any other alternate procedure, for instance, any one of the characterizations in Theorem 2.2.1. Example 2.2.4 For given x_0 \in \mathbb{R}, let f(x)=\left|x-x_0\right|, x \in \mathbb{R}. Then f is continuous on \mathbb{R}. To see this, note that, for a \in \mathbb{R},$$
|f(x)-f(a)|=|| x-x_0|-| a-x_0|| \leq\left|\left(x-x_0\right)-\left(a-x_0\right)\right|=|x-a|
$$Hence, for every \varepsilon>0, we have$$
|x-a|<\varepsilon \Rightarrow|f(x)-f(a)|<\varepsilon
$$Example 2.2.5 Recall from Example 2.2.9 that$$
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x-2}=4
$$Hence, f defined by$$
f(x):= \begin{cases}\frac{x^2-4}{x-2}, & x \neq 2 \ 4, & x=2\end{cases}
$$is continuous at 2 . However, the function$$
g(x):= \begin{cases}\frac{x^2-4}{x-2}, & x \neq 2, \ \alpha, & x=2\end{cases}
$$is not continuous at 2 for any \alpha \neq 4. Also, if a \neq 2, then x-2 is nonzero in a neighbourhood of a, and the functions x-2 and x^2-4 are continuous on \mathbb{R}. Hence, by Theorem 2.2.6, f is continuous at every a \neq 2 as well. By similar arguments, g is continuous at every point a \neq 2 . \diamond ## 微积分代写 ## Calculus_微积分Definition and Some Basic Results 定义 2.2 .1 让 f 是定义在集合上的实值函数 D \subseteq \mathbb{R}. 然后 f 据兑在一点连续 x_0 \in D 如果对于每个 \varepsilon>0, 存在一个 \delta>0 这样$$ \left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon \text { whenever } x \in D,\left|x-x_0\right|<\delta . $$功能 f 据兑是连续的 D 如果它在 \mathrm{D} 中的每一点都是连練的。 请注意，在上面的定义中，我们没有假设 x_0 是一个极限点 D. 然而，如果我们假设 x_0 是一个极限点 D ，那云我们有以下连续性特 征。 定理 2.2.1 让 x_0 \in D 是一个极限点 D. 然后，对于一个函数 f: D \rightarrow \mathbb{R} ，以下是等价的。 (一世) f 是连续的 x_0. (二) \lim {x \rightarrow x_0} f(x) 存在并且等于 f\left(x_0\right). (iii) 对于每个序列 \left(x_n\right) 在 D, x_n \rightarrow x_0 暗示 f\left(x_n\right) \rightarrow f\left(x_0\right). 回相一下 x_0 在一个区间 I 是一个极限点 I 当且仅当 x_0 \in I 或者如果 x_0 是一个端点 I. 在本书中，我们将考虑定义在区间上的函数的连 续性。 侽例: 当我们这样说时 f 在一点伡续 x_0 \in \mathbb{R} ，我们的意思是 f 定义在一个包含 x_0 和 f 是连䋨的 x_0. 示例 2.2.1 让 f(x)=a_0+a_1 x+\cdots a_k x^k 对于—些 a_0, a_1, \ldots, a_k 在 \mathbb{R} 和 k \in \mathbb{N}. 我们倁道 (参见示例 2.1.8)，对于任何 x_0 \in \mathbb{R},$$
\lim x \rightarrow x_0 f(x)=f\left(x_0\right)
$$因此，根据定理 2.2 .1, f 是连续的 x_0 \in \mathbb{R} (图 2.9) 。示例 2.2.2 让 f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R} 如例 2.1.3 所示，即 \ \$$ $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\backslash$ left ${\backslash$ begin ${$ array $}{1} 0,-1 \backslash$ leq $x \backslash$ leq $0 \backslash 1,0{x$ \rightarrow 0$} \mathrm{f}(\mathrm{x})$
doesnotexist. Hence, byTheorem $2.2 \cdot 1, \mathrm{~F}$
isnotcontinuousat0.Example2.2.3WehaveseeninExamples2.1.10and 2.1.11that

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。