如果你也在 怎样代写微积分Calculus MAST10006这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。微积分Calculus 最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
微积分Calculus 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互关联，它们利用了无限序列和无限数列收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。17世纪末，牛顿（Isaac Newton）和莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz）独立开发了无限小数微积分。后来的工作，包括对极限概念的编纂，将这些发展置于更坚实的概念基础上。今天，微积分在科学、工程和社会科学中得到了广泛的应用。
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Calculus_微积分_Some Tests for Convergence
Theorem 1.2.6 (Comparison test) Let $0 \leq a_n \leq b_n$ for all $n \in \mathbb{N}$. Then
$$
\sum_{n=1}^{\infty} b_n \text { converges } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text { converges. }
$$
Proof Suppose $s_n$ and $s_n^{\prime}$ are the $n^{\text {th }}$ partial sums of the series $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ and $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$, respectively. By the assumption, we have $0 \leq s_n \leq s_n^{\prime}$ for all $n \in \mathbb{N}$, and both $\left(s_n\right)$ and $\left(s_n^{\prime}\right)$ are monotonically increasing.
Suppose $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ converges, that is, $\left(s_n^{\prime}\right)$ converges. Then, $\left(s_n^{\prime}\right)$ is bounded. Hence, by the relation $0 \leq s_n \leq s_n^{\prime}$ for all $n \in \mathbb{N},\left(s_n\right)$ is bounded as well as monotonically increasing. Therefore, by Theorem $1.1 .9,\left(s_n\right)$ converges.
The following corollary is immediate from the above theorem.
Corollary 1.2.7 (Comparison test) Let $0 \leq a_n \leq b_n$ for all $n \in \mathbb{N}$. Then
$$
\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text { diverges } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} b_n \text { diverges. }
$$
Corollary 1.2.8 Suppose $\left(a_n\right)$ and $\left(b_n\right)$ are sequences of positive terms.
(i) Suppose $\ell:=\lim {n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}$ exists. (a) If $\ell>0$, then $\sum{n=1}^{\infty} b_n$ converges $\Longleftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converges.
(b) If $\ell=0$, then $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ converges $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converges.
(ii) Suppose $\lim {n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=\infty$. Then $\sum{n=1}^{\infty} a_n$ converges $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ converges.
Proof (i) Assume that $\ell:=\lim {n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}$ exists, i.e., $0 \leq \ell<\infty$. (a) Suppose $\ell>0$. Then for any $0<\varepsilon<\ell$ there exists $n \in \mathbb{N}$ such that $$ 0 \leq \ell-\varepsilon<\frac{a_n}{b_n}<\ell+\varepsilon \quad \forall n \geq N . $$ Thus, $(\ell-\varepsilon) b_n{n=1}^{\infty} b_n$ converges if and only if $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converges.
(b) Suppose $\ell=0$ and let $\varepsilon>0$ be given. Then, there exists $n \in \mathbb{N}$ such that $-\varepsilon<\frac{a_n}{b_n}<\varepsilon$ for all $n \geq N$. In particular,
$$
a_n<\varepsilon b_n \quad \forall n \geq N .
$$
Calculus_微积分_Alternating Series
In the last subsection we have described some tests for asserting the convergence or divergence of series of non-negative terms. In this subsection we provide a sufficient condition for convergence of series with alternatively positive and negative terms.
Definition 1.2.3 A series of the form $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} u_n$, where $\left(u_n\right)$ is a sequence of positive terms, is called an alternating series.
We have seen in Example 1.2.7 that the alternating series
$$
1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{(-1)^{n+1}}{n}+\cdots
$$
is convergent. Note that the series
$$
1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{4 n-3}+\frac{1}{4 n-2}-\frac{1}{4 n-1}-\frac{1}{4 n}+\cdots
$$
is not an alternating series. As you can see, in the latter case, though the series in not an alternating series, it is of the form
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\left[(-1)^{n+1} u_n+(-1)^{n+1} v_n\right]
$$
with
$$
u_n=\frac{1}{2 n-1}, \quad v_n=\frac{1}{2 n} .
$$
We know from the results in Example 1.2.8 that the alternating series $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} u_n$ and $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} v_n$ are convergent. Hence, we can assert the convergence of the original series $\sum_{n=1}^{\infty}\left[(-1)^{n+1} u_n+(-1)^{n+1} v_n\right]$.
The next theorem, due to Leibnitz, ${ }^5$ provides such a sufficient condition for the convergence of alternating series.
微积分代写
Calculus_微积分Some Tests for Convergence
定理 $1.2 .6$ (比较检验) 让 $0 \leq a_n \leq b_n$ 对所有人 $n \in \mathbb{N}$. 然后 $$ \sum{n=1}^{\infty} b_n \text { converges } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text { converges. }
$$
证明假设 $s_n$ 和 $s_n^{\prime}$ 是 $n^{\text {th }}$ 系列的部分和 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ ，分别。根据假设，我们有 $0 \leq s_n \leq s_n^{\prime}$ 对所有人 $n \in \mathbb{N}$ ，并且两者 $\left(s_n\right)$ 和 $\left(s_n^{\prime}\right)$ 是单调递增的。
认为 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛，即 $\left(s_n^{\prime}\right)$ 收敛。然后， $\left(s_n^{\prime}\right)$ 是有界的。因此，由关系 $0 \leq s_n \leq s_n^{\prime}$ 对所有人 $n \in \mathbb{N},\left(s_n\right)$ 是有界的，也是单调 递增的。因此，由定理 $1.1 .9,\left(s_n\right)$ 收敛。 以下推论是上述定理的直接推论。
推论 $1.2 .7$ (比较测试) 让 $0 \leq a_n \leq b_n$ 对所有人 $n \in \mathbb{N}$. 然后
$$
\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text { diverges } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} b_n \text { diverges. }
$$
推论 $1.2 .8$ 假设 $\left(a_n\right)$ 和 $\left(b_n\right)$ 是正项的序列。
(我想 $\ell:=\lim n \rightarrow \infty \frac{a_n}{b_n}$ 存在。 $(\mathrm{a})$ 如果 $\ell>0$ ，然后 $\sum n=1^{\infty} b_n$ 收敛 $\Longleftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。
(b) 如果 $\ell=0$ ，然后 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛 $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。
(ii) 假设 $\lim n \rightarrow \infty \frac{a_n}{b_n}=\infty$. 然后 $\sum n=1^{\infty} a_n$ 收敛 $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛。
证明 (i) 假设 $\ell:=\lim n \rightarrow \infty \frac{a_n}{b_n}$ 存在，即， $0 \leq \ell<\infty$. (a) 假设 $\ell>0$. 那么对于任何 $0<\varepsilon<\ell$ 那里存在 $n \in \mathbb{N}$ 这样 $$ 0 \leq \ell-\varepsilon<\frac{a_n}{b_n}<\ell+\varepsilon \quad \forall n \geq N . $$ 因此， $(\ell-\varepsilon) b_n n=1^{\infty} b_n$ 当且仅当收敛 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。 (b) 假设 $\ell=0$ 然后让 $\varepsilon>0$ 被给予。那 L，存在 $n \in \mathbb{N}$ 这样 $-\varepsilon<\frac{a_n}{b_n}<\varepsilon$ 对所有人 $n \geq N$. 尤其是，
$$
a_n<\varepsilon b_n \quad \forall n \geq N .
$$
Calculus_微积分Alternating Series
在上一小节中，我们描述了一些用于断言一系列非负项的收敛或发散的测试。在本小节中，我们为具有交替正项和负项的级数收敛 提供了充分条件。 我们已泾在示例 $1.2 .7$ 中看到，交菖序列 $$ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{(-1)^{n+1}}{n}+\cdots $$ 是收敛的。请注意，该系列 $$ 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{4 n-3}+\frac{1}{4 n-2}-\frac{1}{4 n-1}-\frac{1}{4 n}+\cdots $$ 不是交菖序列。如您所见，在后一种情况下，虽然该系列不是交替系列，但它的形式是 $$ \sum{n=1}^{\infty}\left[(-1)^{n+1} u_n+(-1)^{n+1} v_n\right]
$$
和
$$
u_n=\frac{1}{2 n-1}, \quad v_n=\frac{1}{2 n} .
$$
从示例 $1.2 .8$ 的结果我们知道，交詥序列 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} u_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} v_n$ 是收敛的。因此，我们可以断言原始序列的收敛 性 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[(-1)^{n+1} u_n+(-1)^{n+1} v_n\right]$
下一个定理，由于莱布尼茨， ${ }^5$ 为交苩级数的收敛提供了这样一个充分条件。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。