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线性代数Linear algebra是平坦的微分几何，在流形的切线空间中服务。时空的电磁对称性是由洛伦兹变换表达的，线性代数的大部分历史就是洛伦兹变换的历史。线性代数也被用于大多数科学和工程领域，因为它可以对许多自然现象进行建模，并对这些模型进行有效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统，它经常被用来处理一阶近似，利用这样一个事实：一个多变量函数在某一点的微分是最接近该点的函数的线性图。
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线性代数代考_Linear Algebra代考_THE SINGULAR VALUE DECOMPOSITION
The diagonalization theorems in Sections $5.3$ and $7.1$ play a part in many interesting applications. Unfortunately, as we know, not all matrices can be factored as $A=P D P^{-1}$ with $D$ diagonal. However, a factorization $A=Q D P^{-1}$ is possible for any $m \times n$ matrix $A$ ! A special factorization of this type, called the singular value decomposition, is one of the most useful matrix factorizations in applied linear algebra.
The singular value decomposition is based on the following property of the ordinary diagonalization that can be imitated for rectangular matrices: The absolute values of the eigenvalues of a symmetric matrix $A$ measure the amounts that $A$ stretches or shrinks certain vectors (the eigenvectors). If $A \mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$ and $|\mathbf{x}|=1$, then
$$
|A \mathbf{x}|=|\lambda \mathbf{x}|=|\lambda||\mathbf{x}|=|\lambda|
$$
If $\lambda_1$ is the eigenvalue with the greatest magnitude, then a corresponding unit eigenvector $\mathbf{v}_1$ identifies a direction in which the stretching effect of $A$ is greatest. That is, the length of $A \mathbf{x}$ is maximized when $\mathbf{x}=\mathbf{v}_1$, and $\left|A \mathbf{v}_1\right|=\left|\lambda_1\right|$, by (1). This description of $\mathbf{v}_1$ and $\left|\lambda_1\right|$ has an analogue for rectangular matrices that will lead to the singular value decomposition.
线性代数代考_Linear Algebra代考_The Singular Values of an m X n Matrix
Let $A$ be an $m \times n$ matrix. Then $A^T A$ is symmetric and can be orthogonally diagonalized. Let $\left{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n\right}$ be an orthonormal basis for $\mathbb{R}^n$ consisting of eigenvectors of $A^T A$, and let $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ be the associated eigenvalues of $A^T A$. Then, for $1 \leq i \leq n$,
$$
\begin{aligned}
\left|A \mathbf{v}_i\right|^2 &=\left(A \mathbf{v}_i\right)^T A \mathbf{v}_i=& \mathbf{v}_i^T A^T A \mathbf{v}_i \
&=\mathbf{v}_i^T\left(\lambda_i \mathbf{v}_i\right) & & \text { Since } \mathbf{v}_i \text { is an eigenvector of } A^T A \
&=\lambda_i & & \text { Since } \mathbf{v}_i \text { is a unit vector }
\end{aligned}
$$
So the eigenvalues of $A^T A$ are all nonnegative. By renumbering, if necessary, we may assume that the eigenvalues are arranged so that
$$
\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n \geq 0
$$
The singular values of $A$ are the square roots of the eigenvalues of $A^T A$, denoted by $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$, and they are arranged in decreasing order. That is, $\sigma_i=\sqrt{\lambda_i}$ for $1 \leq i \leq n$. By equation (2), the singular values of $A$ are the lengths of the vectors $A \mathbf{v}_1, \ldots, A \mathbf{v}_n$.
EXAMPLE 2 Let $A$ be the matrix in Example 1. Since the eigenvalues of $A^T A$ are 360,90 , and 0 , the singular values of $A$ are
$$
\sigma_1=\sqrt{360}=6 \sqrt{10}, \quad \sigma_2=\sqrt{90}=3 \sqrt{10}, \quad \sigma_3=0
$$
From Example 1, the first singular value of $A$ is the maximum of $|A \mathbf{x}|$ over all unit vectors, and the maximum is attained at the unit eigenvector $\mathbf{v}_1$. Theorem 7 in Section $7.3$ shows that the second singular value of $A$ is the maximum of $|A \mathbf{x}|$ over all unit vectors that are orthogonal to $\mathbf{v}_1$, and this maximum is attained at the second unit eigenvector, $\mathbf{v}_2$ (Exercise 22). For the $\mathbf{v}_2$ in Example 1 ,
$$
A \mathbf{v}_2=\left[\begin{array}{rrr}
4 & 11 & 14 \
8 & 7 & -2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{r}
-2 / 3 \
-1 / 3 \
2 / 3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}
3 \
-9
\end{array}\right]
$$
This point is on the minor axis of the ellipse in Figure 1, just as $A \mathbf{v}_1$ is on the major axis. (See Figure 2.) The first two singular values of $A$ are the lengths of the major and minor semiaxes of the ellipse.
The fact that $A \mathbf{v}_1$ and $A \mathbf{v}_2$ are orthogonal in Figure 2 is no accident, as the next theorem shows.
线性代数代写
线性代数代考_Linear Algebra代考_THE SINGULARVALUE DECOMPOSITION
章节中的对角化定理 $5.3$ 和 $7.1$ 在许多有趣的应用程序中发挥作用。不辛的是，正如我们所知，并非所有矩阵都阿以分解为
$A=P D P^{-1}$ 和 $D$ 对角线。然而，一个因式分解 $A=Q D P^{-1}$ 对任何一个都是可能的 $m \times n$ 矩阵 $A$ ! 这种类型的特殊分解称为 奇异值分解，是应用线性代数中最有用的矩阵分解之一。
奇异值分解基于矩形矩阵可以模仿的普通对角化的以下性质：对称矩阵的特征值的绝对值 $A$ 测量数量 $A$ 拉伸或收缩余些向量（特 征向量)。如果 $A \mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$ 和 $|\mathbf{x}|=1$ ，然后
$$
|A \mathbf{x}|=|\lambda \mathbf{x}|=|\lambda||\mathbf{x}|=|\lambda|
$$
如果 $\lambda_1$ 是具有最大幅度的特征值，然后是相应的单位特征向量 $\mathbf{v}_1$ 确定一个方向，其中的拉伸效果 $A$ 是最伟大的。也就是说，长度 $A \mathbf{x}$ 最大化时 $\mathbf{x}=\mathbf{v}_1$ ，和 $\left|A \mathbf{v}_1\right|=\left|\lambda_1\right|$ ，由 (1) 。这种描述 $\mathbf{v}_1$ 和 $\left|\lambda_1\right|$ 有一个矩形矩阵的模烜，将导致奇异值分解。
线性代数代弌_Linear Algebra代考_The Singular Values of an $m \times n$ Matrix
由特征向量组成 $A^T A$ ，然后让 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ 是关联的特征值 $A^T A$. 然后，对于 $1 \leq i \leq n$ ，
$\left|A \mathbf{v}_i\right|^2=\left(A \mathbf{v}_i\right)^T A \mathbf{v}_i=\quad \mathbf{v}_i^T A^T A \mathbf{v}_i=\mathbf{v}_i^T\left(\lambda_i \mathbf{v}_i\right) \quad$ Since $\mathbf{v}_i$ is an eigenvector of $A^T A \quad=\lambda_i \quad$ Since $\mathbf{v}_i$ is a unit vector
所以特征值 $A^T A$ 都是非负的。通过重新编号，如果有必要，我们可以假殁特征值的排列使得
$$
\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n \geq 0
$$
的奇异值 $A$ 是特征值的平方根 $A^T A$ ，表示为 $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$ 并且它们是按降序排列的。那是， $\sigma_i=\sqrt{\lambda_i}$ 为了 $1 \leq i \leq n$. 通过等式
(2)，奇异值 $A$ 是向量的长度 $A \mathbf{v}_1, \ldots, A \mathbf{v}_n$.
例 2 让 $A$ 是示例 1 中的矩阵。由于特征值 $A^T A$ 是 360,90 和 0 的奇异值 $A$ 是
$$
\sigma_1=\sqrt{360}=6 \sqrt{10}, \quad \sigma_2=\sqrt{90}=3 \sqrt{10}, \quad \sigma_3=0
$$
从示例 1 中，第一个奇异值 $A$ 是最大值 $|A \mathbf{x}|$ 在所有单位向量上，并且在单位特征向量处达到最大值 $\mathbf{v}_1$. 本节中的定理 $77.3$ 表明的 第二个奇异值 $A$ 是最大值 $|A \mathbf{x}|$ 在正交于的所有单位向量上 $\mathbf{v}_1$ ，并且这个最大值在第二个单位特征向量处达到， $\mathbf{v}_2($ 练习 22$)$ 。
$$
A \mathbf{v}_2=\left[\begin{array}{lllll}
4 & 11 & 148 & 7 & -2
\end{array}\right][-2 / 3-1 / 32 / 3]=\left[\begin{array}{ll}
3 & -9
\end{array}\right]
$$
该点位于图 1中椭圆的短轴上，正如 $A \mathbf{v}_1$ 在长轴上。（参见图 2。）的前两个奇异值 $A$ 是椭圆的长半轴和短半轴的长度。
事实是 $A \mathbf{v}_1$ 和 $A \mathbf{v}_2$ 在图 2 中是正交的并非偶然，如下一个定理所示。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。