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# 数学代写|蒙特卡罗模拟代考Monte Carlo Method代考|Math577 Linear Transformations

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## 数学代写|蒙特卡罗模拟代考Monte Carlo Method代考|Linear Transformations

Let $\mathbf{x}=\left(x_1, \ldots, x_n\right)^{\top}$ be a column vector in $\mathbb{R}^n$ and $A$ an $m \times n$ matrix. The mapping $\mathbf{x} \mapsto \mathbf{z}$, with $\mathbf{z}=A \mathbf{x}$, is called a linear transformation. Now consider a random vector $\mathbf{X}=\left(X_1, \ldots, X_n\right)^{\top}$, and let
$$\mathbf{Z}=A \mathbf{X} \text {. }$$
Then $\mathbf{Z}$ is a random vector in $\mathbb{R}^m$. In principle, if we know the joint distribution of $\mathbf{X}$, then we can derive the joint distribution of $\mathbf{Z}$. Let us first see how the expectation vector and covariance matrix are transformed.

Theorem 1.8.1 If $\mathbf{X}$ has an expectation vector $\boldsymbol{\mu}{\mathbf{X}}$ and covariance matrix $\Sigma{\mathbf{X}}$, then the expectation vector and covariance matrix of $\mathbf{Z}=A \mathbf{X}$ are given by
$$\mu_{\mathbf{Z}}=A \mu_{\mathbf{X}}$$
and
$$\Sigma_{\mathbf{Z}}=A \Sigma_{\mathbf{X}} A^{\top} .$$
Proof: We have $\boldsymbol{\mu}{\mathbf{Z}}=\mathbb{E}[\mathbf{Z}]=\mathbb{E}[A \mathbf{X}]=A \mathbb{E}[\mathbf{X}]=A \boldsymbol{\mu}{\mathbf{X}}$ and
\begin{aligned} \Sigma_{\mathbf{Z}} &=\mathbb{E}\left[\left(\mathbf{Z}-\boldsymbol{\mu}{\mathbf{Z}}\right)\left(\mathbf{Z}-\boldsymbol{\mu}{\mathbf{Z}}\right)^{\top}\right]=\mathbb{E}\left[A\left(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu}{\mathbf{X}}\right)\left(A\left(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu}{\mathbf{X}}\right)\right)^{\top}\right] \ &=A \mathbb{E}\left[\left(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu}{\mathbf{X}}\right)\left(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu}{\mathbf{X}}\right)^{\top}\right] A^{\top} \ &=A \Sigma_{\mathbf{X}} A^{\top} \end{aligned}

## 数学代写|蒙特卡罗模拟代考Monte Carlo Method代考|General Transformations

We can apply reasoning similar to that above to deal with general transformations $\mathbf{x} \mapsto \boldsymbol{g}(\mathbf{x})$, written out as
$$\left(\begin{array}{c} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_n \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} g_1(\mathbf{x}) \ g_2(\mathbf{x}) \ \vdots \ g_n(\mathbf{x}) \end{array}\right) .$$
For a fixed $\mathbf{x}$, let $\mathbf{z}=\boldsymbol{g}(\mathbf{x})$. Suppose that $\boldsymbol{g}$ is invertible; hence $\mathbf{x}=\boldsymbol{g}^{-1}$ (z). Any infinitesimal $n$-dimensional rectangle at $\mathbf{x}$ with volume $V$ is transformed into an $n$-dimensional parallelepiped at $\mathbf{z}$ with volume $V\left|J_{\mathbf{x}}(\boldsymbol{g})\right|$, where $J_{\mathbf{x}}(\boldsymbol{g})$ is the matrix of Jacobi at $\mathbf{x}$ of the transformation $\boldsymbol{g}$, that is,
$$J_{\mathbf{x}}(\boldsymbol{g})=\left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial g_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial g_1}{\partial x_n} \ \vdots & \cdots & \vdots \ \frac{\partial g_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial g_n}{\partial x_n} \end{array}\right) .$$
Now consider a random column vector $\mathbf{Z}=\boldsymbol{g}(\mathbf{X})$. Let $C$ be a small cube around $\mathbf{z}$ with volume $h^n$. Let $D$ be the image of $C$ under $\boldsymbol{g}^{-1}$. Then, as in the linear case,
$$\mathbb{P}(\mathbf{Z} \in C) \approx h^n f_{\mathbf{Z}}(\mathbf{z}) \approx h^n\left|J_{\mathbf{z}}\left(\boldsymbol{g}^{-1}\right)\right| f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) .$$
Hence we have the transformation rule
$$f_{\mathbf{Z}}(\mathbf{z})=f_{\mathbf{X}}\left(\boldsymbol{g}^{-1}(\mathbf{z})\right)\left|J_{\mathbf{z}}\left(\boldsymbol{g}^{-1}\right)\right|, \quad \mathbf{z} \in \mathbb{R}^n .$$
(Note: $\left.\left|J_{\mathbf{z}}\left(\boldsymbol{g}^{-1}\right)\right|=1 /\left|J_{\mathbf{x}}(\boldsymbol{g})\right| \cdot\right)$

## 数学代写|蒙特卡罗模拟代考Monte Carlo Method代考|Linear Transformations

$$\mathbf{Z}=A \mathbf{X} .$$

$$\mu_{\mathbf{Z}}=A \mu_{\mathbf{X}}$$

$$\Sigma_{\mathbf{Z}}=A \Sigma_{\mathbf{X}} A^{\top} .$$

$$\Sigma_{\mathbf{Z}}=\mathbb{E}\left[(\mathbf{Z}-\boldsymbol{\mu} \mathbf{Z})(\mathbf{Z}-\boldsymbol{\mu} \mathbf{Z})^{\top}\right]=\mathbb{E}\left[A(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu} \mathbf{X})(A(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu} \mathbf{X}))^{\top}\right]=A \mathbb{E}\left[(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu} \mathbf{X})(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu} \mathbf{X})^{\top}\right] A^{\top}=A \Sigma_{\mathbf{X}} A^{\top}$$

## 数学代写|蒙特卡罗模拟代考Monte Carlo Method代考|General Transformations

$$\left(x_1 x_2 \vdots x_n\right) \mapsto\left(g_1(\mathbf{x}) g_2(\mathbf{x}) \vdots g_n(\mathbf{x})\right)$$

$$J_{\mathbf{x}}(\boldsymbol{g})=\left(\begin{array}{lllllll} \frac{\partial g_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial g_1}{\partial x_n} & \ldots & \vdots \frac{\partial g_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial g_n}{\partial x_n} \end{array}\right) .$$

$$\mathbb{P}(\mathbf{Z} \in C) \approx h^n f \mathbf{Z}(\mathbf{z}) \approx h^n\left|J_{\mathbf{z}}\left(\boldsymbol{g}^{-1}\right)\right| f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) .$$

$$f_{\mathbf{Z}}(\mathbf{z})=f_{\mathbf{X}}\left(\boldsymbol{g}^{-1}(\mathbf{z})\right)\left|J_{\mathbf{z}}\left(\boldsymbol{g}^{-1}\right)\right|, \quad \mathbf{z} \in \mathbb{R}^n .$$
(笔记: $\left.\left|J_{\mathrm{z}}\left(\boldsymbol{g}^{-1}\right)\right|=1 /\left|J_{\mathbf{x}}(\boldsymbol{g})\right| \cdot\right)$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。