Posted on Categories:Numerical analysis, 数值分析, 数学代写

# 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|MATH2200 Roundoff Errors in Solving Triangular Systems

avatest™

## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

•最快12小时交付

•200+ 英语母语导师

•70分以下全额退款

## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Roundoff Errors in Solving Triangular Systems

As a result of applying Gaussian elimination in floating-point arithmetic to the matrix $A$, a lower triangular matrix $\bar{L}$ and an upper triangular matrix $\bar{R}$ are obtained whose product $\bar{L} \bar{R}$ approximately equals $A$. Solving the system $A x=b$ is thereby reduced to solving the triangular system
$$\bar{L} y=b, \quad \bar{R} x=y .$$
In this section we investigate the influence of roundoff errors on the solution of such equation systems. If we use $\bar{y}$ to denote the solution obtained using $t$-digit floating-point arithmetic, then the definition of $\bar{y}$ gives
(4.6.1) $\quad \bar{y}r=\mathrm{fl}\left(\left(-\bar{l}{r 1} \bar{y}1-\bar{l}{r 2} \bar{y}2-\cdots-\bar{l}{r, r-1} \bar{y}{r-1}+b_r\right) / \bar{l}{r r}\right)$.
From (1.4.10), (1.4.11) it follows immediately that
$$\left|b_r-\sum_{j=1}^r \bar{l}{r j} \bar{y}_j\right| \leq \frac{\mathrm{eps}}{1-n \mathrm{eps}}\left[\sum{j=1}^r j\left|\bar{l}_{r j}\right|\left|\bar{y}_j\right|-\left|\bar{y}_r\right|\right] \text {, }$$

or
(4.6.2) $|b-\bar{L} \bar{y}| \leq \frac{\mathrm{eps}}{1-n \mathrm{eps}}(|\bar{L}| D-I)|\bar{y}|, \quad D:=\left[\begin{array}{llll}1 & & & 0 \ & 2 & & \ & & \ddots & \ 0 & & & n\end{array}\right]$.
In other words, there exists a matrix $\Delta \bar{L}$ satisfying
$$(\bar{L}+\Delta \bar{L}) \bar{y}=b, \quad|\Delta \bar{L}| \leq \frac{\text { eps }}{1-n \text { eps }}(|\bar{L}| D-I) .$$

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Orthogonalization Techniques of Householder and Gram-Schmidt

The methods discussed up to this point for solving a system of equations
$$A x=b$$
consisted of multiplying (4.7.1) on the left by appropriate matrices $P_j$, $j=1, \ldots, n$, so that the system obtained as the final outcome,
$$A^{(n)} x=b^{(n)},$$
could be solved directly. The sensitivity of the result $x$ to changes in the arrays $A^{(j)}, b^{(j)}$ of the intermediate systems
$$A^{(j)} x=b^{(j)}, \quad\left[A^{(j)}, b^{(j)}\right]=P_j\left[A^{(j-1)}, b^{(j-1)}\right],$$
is given by [see (4.4.12) and Theorem (4.4.15)]
$$\operatorname{cond}\left(A^{(j)}\right)=\operatorname{lub}\left(A^{(j)}\right) \operatorname{lub}\left(\left(A^{(j)}\right)^{-1}\right) .$$
If we denote the roundoff error incurred in the transition from $\left[A^{(j-1)}\right.$, $\left.b^{(j-1)}\right]$ to $\left[A^{(j)}, b^{(j)}\right]$ by $\varepsilon^{(j)}$, then these roundoff errors are amplified by the factors cond $\left(A^{(j)}\right)$ in their effect on the final result $x$, and we have
$$\frac{|\Delta x|}{|x|} \dot{\leq} \sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon^{(j)} \operatorname{cond}\left(A^{(j)}\right) .$$

## 数学代写数值分析代写数值分析代写|欧拉-马克劳林求和公式

\begin{aligned} \Int_0^1 g(t) d t=\frac{g(0)}{2} &+\frac{g(1)}{2}+\sum_{l=1}^m\frac{B_{2 l}}{(2 l) !}\left(g^{(2 l-1)}(0)-g^{(2 l-1)}(1)\right) \ &-frac{B_{2 m+2}}{(2 m+2) !} g^{(2 m+2)}(xi), `quad 0<\xi<1 \end{aligned}

$$B_2==frac{1}{6}, \quad B_4=-\frac{1}{30}, \quad B_6==frac{1}{42}, \quad B_8=-frac{1}{30}, \ldots$$

\begin{aligned} \int_0^N g(t) d t=\frac{g(0)}{2} &+g(1)+\cdots+g(N-1)+\frac{g(N)}{2｝ \ &+sum_{l=1}^m {frac{B_{2 l}}{(2 l) !}left(g^{(2 l-1)}(0)-g^{(2 l-1)}(N)right) &-frac{B_{2 m+2}}{(2 m+2) !}。N g^{(2 m+2)}(\xi), \quad 0<\xi<N \end{aligned}

## 数学代写|数值分析代写|数字分析代写|外推法整合

(3.4.1) $quad T(h)=\tau_0+\tau_1 h^2+\tau_2 h^4+cdots+\tau_m h^{2 m}+alpha_{m+1}（h）h^{2 m+2}$。

$$\tau_0=int_a^b f(x) d t$$

$$\tau_k:=frac{B_{2 k}}{(2 k) !}/left(f^{(2 k-1)}(b)-f^{(2 k-1)}(a)/right), \quad k=1,2, \ldots, m$$

$$\α{m+1}(h)=\frac{B{2 m+2}}{(2 m+2) !}(b-a) f^{(2 m+2)}(\xi(h))，\quad a<\xi(h)<b。$$

(3.4.2) 存在一个常数$M_{m+1}$，使得
$$\left|\alpha_{m+1}(h)\right| \leq M_{m+1}。$$

$$\tau_0+tau_1 h^2+tau_2 h^4+cdots$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。