Posted on Categories:Numerical analysis, 数值分析, 数学代写

# 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|MATH408 The Euler–Maclaurin Summation Formula

avatest™

## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

•最快12小时交付

•200+ 英语母语导师

•70分以下全额退款

## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|The Euler–Maclaurin Summation Formula

The error formulas (3.1.6), (3.1.8) are low-order instances of the famous Euler-Maclaurin summation formula, which in its simplest form reads (for $\left.g \in C^{2 m+2}[0,1]\right)$
\begin{aligned} \int_0^1 g(t) d t=\frac{g(0)}{2} &+\frac{g(1)}{2}+\sum_{l=1}^m \frac{B_{2 l}}{(2 l) !}\left(g^{(2 l-1)}(0)-g^{(2 l-1)}(1)\right) \ &-\frac{B_{2 m+2}}{(2 m+2) !} g^{(2 m+2)}(\xi), \quad 0<\xi<1 \end{aligned}
Here $B_k$ are the classical Bernoulli numbers
$$B_2=\frac{1}{6}, \quad B_4=-\frac{1}{30}, \quad B_6=\frac{1}{42}, \quad B_8=-\frac{1}{30}, \ldots$$
whose general definition will be given below. Extending (3.3.1) to its composite form in the same way as (3.1.6) was extended to (3.1.8), we obtain for $g \in C^{2 m+2}[0, N]$
\begin{aligned} \int_0^N g(t) d t=\frac{g(0)}{2} &+g(1)+\cdots+g(N-1)+\frac{g(N)}{2} \ &+\sum_{l=1}^m \frac{B_{2 l}}{(2 l) !}\left(g^{(2 l-1)}(0)-g^{(2 l-1)}(N)\right) \ &-\frac{B_{2 m+2}}{(2 m+2) !} N g^{(2 m+2)}(\xi), \quad 0<\xi<N \end{aligned}

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Integration by Extrapolation

Let $f \in C^{2 m+2}[a, b]$ be a real function to be integrated over the interval $[a, b]$. Consider the expansion (3.3.4) of the trapezoidal sum $T(h)$ of $f$ in terms of the step length $h=(b-a) / n$. It is of the form
(3.4.1) $\quad T(h)=\tau_0+\tau_1 h^2+\tau_2 h^4+\cdots+\tau_m h^{2 m}+\alpha_{m+1}(h) h^{2 m+2}$.
Here
$$\tau_0=\int_a^b f(x) d t$$
is the integral to be calculated,
$$\tau_k:=\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}\left(f^{(2 k-1)}(b)-f^{(2 k-1)}(a)\right), \quad k=1,2, \ldots, m$$
and
$$\alpha_{m+1}(h)=\frac{B_{2 m+2}}{(2 m+2) !}(b-a) f^{(2 m+2)}(\xi(h)), \quad a<\xi(h)<b,$$
is the error coefficient. Since $f^{(2 m+2)}$ is continuous by hypothesis in the closed finite interval $[a, b]$, there exists a bound $L$ such that $\left|f^{2 m+2}(x)\right| \leq L$ for all $x \in[a, b]$. Therefore:
(3.4.2) There exists a constant $M_{m+1}$ such that
$$\left|\alpha_{m+1}(h)\right| \leq M_{m+1}$$
for all $h=(b-a) / n, n=1,2, \ldots$.
Expansions of the form (3.4.1) are called asymptotic expansions in $h$ if the coefficients $\tau_k, k \leq m$ do not depend on $h$ and $\alpha_{m+1}(h)$ satisfies (3.4.2). The summation formula of Euler and Maclaurin is an example of an asymptotic expansion. If all derivatives of $f$ exist in $[a, b]$, then by letting $m=\infty$, the right-hand side of (3.4.1) becomes an infinite series:
$$\tau_0+\tau_1 h^2+\tau_2 h^4+\cdots$$

## 数学代写数值分析代写数值分析代写|欧拉-马克劳林求和公式

\begin{aligned} \Int_0^1 g(t) d t=\frac{g(0)}{2} &+\frac{g(1)}{2}+\sum_{l=1}^m\frac{B_{2 l}}{(2 l) !}\left(g^{(2 l-1)}(0)-g^{(2 l-1)}(1)\right) \ &-frac{B_{2 m+2}}{(2 m+2) !} g^{(2 m+2)}(xi), `quad 0<\xi<1 \end{aligned}

$$B_2==frac{1}{6}, \quad B_4=-\frac{1}{30}, \quad B_6==frac{1}{42}, \quad B_8=-frac{1}{30}, \ldots$$

\begin{aligned} \int_0^N g(t) d t=\frac{g(0)}{2} &+g(1)+\cdots+g(N-1)+\frac{g(N)}{2｝ \ &+sum_{l=1}^m {frac{B_{2 l}}{(2 l) !}left(g^{(2 l-1)}(0)-g^{(2 l-1)}(N)right) &-frac{B_{2 m+2}}{(2 m+2) !}。N g^{(2 m+2)}(\xi), \quad 0<\xi<N \end{aligned}

## 数学代写|数值分析代写|数字分析代写|外推法整合

(3.4.1) $quad T(h)=\tau_0+\tau_1 h^2+\tau_2 h^4+cdots+\tau_m h^{2 m}+alpha_{m+1}（h）h^{2 m+2}$。

$$\tau_0=int_a^b f(x) d t$$

$$\tau_k:=frac{B_{2 k}}{(2 k) !}/left(f^{(2 k-1)}(b)-f^{(2 k-1)}(a)/right), \quad k=1,2, \ldots, m$$

$$\α{m+1}(h)=\frac{B{2 m+2}}{(2 m+2) !}(b-a) f^{(2 m+2)}(\xi(h))，\quad a<\xi(h)<b。$$

(3.4.2) 存在一个常数$M_{m+1}$，使得
$$\left|\alpha_{m+1}(h)\right| \leq M_{m+1}。$$

$$\tau_0+tau_1 h^2+tau_2 h^4+cdots$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。