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# 数学代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|MAST31712 Wiener processes in a Hilbert space

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## 数学代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|Wiener processes in a Hilbert space

Definition 4.19 A mean-zero Lévy process $W$ with continuous trajectories in $U$ is called a Wiener process.

The following theorem gathers basic properties of Wiener processes taking values in a Hilbert space.

Theorem 4.20 Let $W$ be a Wiener process in $U$. Then $W$ is Gaussian and square integrable. Moreover, for all $t_1, \ldots, t_n \geq 0$ and $x_1, \ldots, x_n \in U$, the random vector $\left(\left\langle W\left(t_1\right), x_1\right\rangle_U, \ldots,\left\langle W\left(t_n\right), x_n\right\rangle_U\right)$ has a normal distribution $\mathcal{N}\left(0,\left[q_{i, j}\right]\right)$, where
$$q_{i, j}=\left(t_i \wedge t_j\right)\left\langle Q x_i, x_j\right\rangle_U, \quad i, j=1, \ldots, n,$$
and $Q$ is the covariance operator of $W$. Moreover, let $\left{e_n\right}$ be the orthonormal basis of $U$ consisting of eigenvectors of the covariance operator $Q$ of $W$, and let $\left{\gamma_n\right}$ be the corresponding eigenvalues. Then
$$W(t)=\sum_n W_n(t) e_n, \quad t \geq 0,$$
where the real-valued Wiener processes
$$W_n(t)=\left\langle W(t), e_n\right\rangle_U, \quad n \in \mathbb{N},$$
are independent and have covariances
$$\mathbb{E} W_n(t) W_n(s)=(t \wedge s) \gamma_n,$$
and the series (4.11) converges $\mathbb{P}$-a.s. and in $L^2(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P} ; U)$.

## 数学代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|L´evy–Khinchin decomposition

Assume that $L$ is a càdlàg Lévy process on a Hilbert space $U$. Given a Borel set A separated from 0 (see Remark 4.17), write
$$\pi_A(t):=\sum_{s \leq t} \chi_A(\Delta L(s)), \quad t \geq 0 .$$
Note that the càdlàg property of $L$ implies that $\pi_A$ is $\mathbb{Z}{+}$-valued. Clearly it is a Lévy process with jumps of size 1 . Thus, by Proposition $4.9(\mathrm{iv}), \pi_A$ is a Poisson process. Note that $\mathbb{E} \pi_A(t)=t \mathbb{E} \pi_A(1)=t \nu(A)$, where $\nu$ is a measure that is finite on sets separated from 0 . Write $$L_A(t):=\sum{s \leq t} \chi_A(\Delta L(s)) \Delta L(s) .$$
Then $L_A$ is a well-defined Lévy process. Our aim is to prove the following LévyKhinchin decomposition.

Theorem 4.23 (Lévy-Khinchin decomposition)
(i) If $v$ is a jump intensity measure corresponding to a Lévy process then
$$\int_U\left(|y|U^2 \wedge 1\right) v(\mathrm{~d} y)<\infty .$$ (ii) Every Lévy process has the following representation: $$L(t)=a t+W(t)+\sum{k=1}^{\infty}\left(L_{A_k}(t)-t \int_{A_k} y v(\mathrm{~d} y)\right)+L_{A_0}(t),$$
where $A_0:=\left{x:|x|U \geq r_0\right}, A_k:=\left{x: r_k \leq|x|_U{k-1}\right},\left(r_k\right)$ is an arbitrary sequence decreasing to $0, W$ is a Wiener process, all members of the representation are independent processes and the series converges $\mathbb{P}$-a.s. uniformly on each bounded subinterval of $[0, \infty)$.

# 随机偏微分方程代写

## 数学代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|Wiener processes in a Hilbert space

$$q_{i, j}=\left(t_i \wedge t_j\right)\left\langle Q x_i, x_j\right\rangle_U, \quad i, j=1, \ldots, n,$$

$$W(t)=\sum_n W_n(t) e_n, \quad t \geq 0$$

$$W_n(t)=\left\langle W(t), e_n\right\rangle_U, \quad n \in \mathbb{N},$$

$$\mathbb{E} W_n(t) W_n(s)=(t \wedge s) \gamma_n$$

## 数学代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|L`evyKhinchin decomposition

$$\pi_A(t):=\sum_{s \leq t} \chi_A(\Delta L(s)), \quad t \geq 0 .$$

$$L_A(t):=\sum s \leq t \chi_A(\Delta L(s)) \Delta L(s)$$

(i) 如果 $v$ 是对应于 Lévy 过程的跳跃强度则量，然后
$$\int_U\left(|y| U^2 \wedge 1\right) v(\mathrm{~d} y)<\infty$$
(ii) 每个 Lévy 过程都有以下表示:
$$L(t)=a t+W(t)+\sum k=1^{\infty}\left(L_{A_k}(t)-t \int_{A_k} y v(\mathrm{~d} y)\right)+L_{A_0}(t)$$

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## MATLAB代写

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