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数学代写|代数拓扑代考Algebraic Topology代考|MATH625 The Category of A -Modules

如果你也在 怎样代写代数拓扑Algebraic Topology MATH625这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。代数拓扑Algebraic Topology是数学的一个分支,使用抽象代数的工具来研究拓扑空间。其基本目标是找到代数不变量,将拓扑空间分类至同构,尽管通常大多数分类至同构等价。尽管代数拓扑学主要使用代数来研究拓扑学问题,但使用拓扑学来解决代数问题有时也是可能的。例如,代数拓扑学可以方便地证明,自由群的任何子群又是一个自由群。

代数拓扑Algebraic Topology在代数方法中,人们找到了空间和群之间的对应关系,尊重空间的同构(或更一般的同构)关系。这使得人们可以将关于拓扑空间的陈述重塑为关于群的陈述,而群有大量可管理的结构,往往使这些陈述更容易证明。实现这一目标的两个主要途径是通过基本群,或更一般的同构理论,以及通过同构和同构群。基本群给我们提供了关于拓扑空间结构的基本信息,但它们通常是非abelian的,可能很难处理。一个(有限的)简约复合体的基本群确实有一个有限的呈现。

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数学代写|代数拓扑代考Algebraic Topology代考|MATH625 The Category of A -Modules

数学代写|代数拓扑代考Algebraic Topology代考|The Category of A -Modules

Let $\mathscr{M}$ denote the category of (left) $\mathscr{A}$-modules. This is an abelian category with additional structure; namely, the fact that $\mathscr{A}$ is a Hopf algebra implies that the tensor product (as graded vector spaces) of two $\mathscr{A}$-modules has a natural $\mathscr{A}$-module structure. Explicitly, the Steenrod squares act via:
$$
S q^n(x \otimes y)=\sum_{i+j=n} S q^i(x) \otimes S q^j(y)
$$
this corresponds to the fact that the diagonal $\Delta: \mathscr{A} \rightarrow \mathscr{A} \otimes \mathscr{A}$ is determined by $\Delta S q^n=\sum_{i+j=n} S q^i \otimes S q^j$

Since $\mathscr{A}$ is a connected algebra (concentrated in non-negative degrees, with $\mathscr{A}^0=\mathbb{F}$ ) the Hopf algebra conjugation (or antipode) $\chi: \mathscr{A}^{\circ} \rightarrow \mathscr{A}$ is determined by the diagonal [MM65] and is an isomorphism of algebras, where $\mathscr{A}^{\circ}$ is $\mathscr{A}$ equipped with the opposite algebra structure ( $\chi$ is an anti-automorphism of $\mathscr{A}$ ).

数学代写|代数拓扑代考Algebraic Topology代考|Unstable Modules and Destabilization

Whereas the cohomology of a spectrum (object from stable homotopy theory which represents a cohomology theory) is simply an $\mathscr{A}$-module, the cohomology of a space has further structure; it is an algebra (via the cup product) and the underlying $\mathscr{A}$-module is unstable.

Definition 2.2.3.1 An $\mathscr{A}$-module $M$ is unstable if $S q^i x=0, \forall i>|x|$. The full subcategory of unstable modules is denoted $\mathscr{U} \subset \mathscr{M}$.

Proposition 2.2.3.2 The category $\mathscr{U}$ is an abelian subcategory of $\mathscr{M}$ and is closed under the tensor product $\otimes$ of $\mathscr{M}$.

Proof From the definition of instability, it is clear that a submodule (respectively quotient) of an unstable module is unstable. This implies that $\mathscr{U}$ is an abelian subcategory of $\mathscr{M}$.

Closure under $\otimes$ is seen as follows. By definition, $S q^n(x \otimes y)=$ $\sum_{i+j=n} S q^i(x) \otimes S q^j(y)$; if $n>|x \otimes y|$ and $i+j=n$, then either $i>|x|$ or $j>|y|$, so that the right hand expression is zero, as required.

Remark 2.2.3.3 The duality functor $(-)^{\vee}: \mathscr{M}^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathscr{M}$ does not preserve $\mathscr{U}$, since the relation $S q^0=1$ implies that an unstable module is concentrated in degrees $\geq 0$. The dual $M^{\vee}$ of a module $M$ concentrated in degrees $\geq 0$ is concentrated in degrees $\geq 0$ if and only if $M=M^0$; for example, the dual of $\Sigma \mathbb{F}$ is not unstable.
Example 2.2.3.4 For $n \in \mathbb{N}$, the suspension functor $\Sigma^n: \mathscr{M} \rightarrow \mathscr{M}$ restricts to an exact functor $\Sigma^n: \mathscr{U} \rightarrow \mathscr{U}$ (given by $\Sigma^n \mathbb{F} \otimes-$ ). This is not an equivalence of categories if $n>0$.

For later use, the following definition is recalled, which uses the tensor product of $\mathscr{U}$.

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代数拓扑代考

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让 $\mathscr{M}$ 表示 (左) 的类别 $\mathscr{A}$-模块。这是一个具有附加结构的阿贝尔范帱; 即,事实是, $\mathscr{A}$ 是 Hopf 代数意味着两个的张量积(作为 分级向量空间) $\mathscr{A}$-modules有一个自然 $\mathscr{A}$-模块结构。明确地,steenrod 方块通过以下方式起作用:
$$
S q^n(x \otimes y)=\sum_{i+j=n} S q^i(x) \otimes S q^j(y)
$$
这对应于对角线的事实 $\Delta: \mathscr{A} \rightarrow \mathscr{A} \otimes \mathscr{A}$ 决定于 $\Delta S q^n=\sum_{i+j=n} S q^i \otimes S q^j$
自从 $\mathscr{A}$ 是连通代数(集中于非负度数,具有 $\mathscr{A}^0=\mathbb{F}$ ) Hopf 代数共轭 (或对映体) $\chi: \mathscr{A}^0 \rightarrow \mathscr{A}$ 由对角线 $[\mathrm{MM} 65]$ 确定并且是 代数的同构,其中 $\mathscr{A}^0$ 是 $\mathscr{A}$ 配备了相反的代数结构( $\chi$ 是 个反自同构 $\left.\mathscr{A}\right)$.


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而谱的上同调(代表上同调理论的稳定同伦理论的对象)只是 个 $\mathscr{A}$-模,空间的上同调有进一步的结构;它是 个代数(通过杯 积) 和底层. $\mathscr{A}-$-模块不稳定。
定义 2.2.3.1 一个 $\mathscr{A}$-模块 $M$ 不稳定,如果 $S q^i x=0, \forall i>|x|$. 不稳定模块的完整子类别表示为 $\mathscr{U} \subset \mathscr{M}$.
提案 2.2.3.2 类别 $\mathscr{U}$ 是的阿贝尔子范帱 $\mathscr{M}$ 并且在张量积下是封闭的 $\otimes$ 的 $\mathscr{M}$.
证明 由不稳定的定义可知,不稳定模块的子模块(分别为商)是不稳定的。这意味着 $\mathscr{U}$ 是的阿贝尔子范帱 $\mathscr{M}$.
下关闭 $\otimes$ 如下所示。根据定义, $S q^n(x \otimes y)=\sum_{i+j=n} S q^i(x) \otimes S q^j(y)$; 如果 $n>|x \otimes y|$ 和 $i+j=n$ ,那么要么i $>|x|$ 或 者 $j>|y|$ ,以便根据需要,右侧表达式为零。
备注 2.2.3.3 对偶函子 $(-)^{\vee}: \mathscr{M}^{\text {op }} \rightarrow \mathscr{M}$ 不保留 $\mathscr{U}$ ,因为关系 $S q^0=1$ 意味着不稳定的模块集中在度数上 $\geq 0$. 双 $M^{\vee}$ 模块的 $M$ 集中度数 $\geq 0$ 集中在度数 $\geq 0$ 当且仅当 $M=M^0$; 例吅,对偶 $\Sigma F$ 不是不稳定的。
示例 2.2.3.4 对于 $n \in \mathbb{N}$, 县浮函子 $\Sigma^n: \mathscr{M} \rightarrow \mathscr{M}$ 限制为精确函子 $\Sigma^n: \mathscr{U} \rightarrow \mathscr{U}$ (由 $\left.\Sigma^n \mathbb{F} \otimes-\right)$. 这不是类别的等价如果 $n>0$.
为了以后使用,回忆以下定义,它使用张荲积 $\mathscr{U}$.

数学代写|代数拓扑代考Algebraic Topology代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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