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# 数学代写|示性类代考Characteristic Classes代考|SF3709 Relative cohomology and cohomology with coefficients of Lie algebras

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## 数学代写|示性类代考Characteristic Classes代考|Relative cohomology and cohomology with coefficients of Lie algebras

Relative cohomology and cohomology with coefficients of Lie algebras. In the cohomology theory of topological spaces, there are notions of relative cohomology group $H^(X, A)$ of a pair $(X, A)$ and also cohomology group $H^(X ; \mathcal{S})$ with coefficients in a local system $\mathcal{S}$. They play important roles both theoretically and from the viewpoint of applications. Similarly, in the cohomology theory of Lie algebras, we have relative cohomology with respect to Lie subalgebras and also cohomology with twisted coefficients. We review these briefly.

Let $\mathfrak{g}$ be a Lie algebra. For any element $X \in \mathfrak{g}$ there is associated a linear map
$$i(X): C^k(\mathfrak{g}) \longrightarrow C^{k-1}(\mathfrak{g})$$
which is called the interior product and is defined by
$$(i(X) \varphi)\left(X_1, \cdots, X_{k-1}\right)=\varphi\left(X, X_1, \cdots, X_{k-1}\right)$$

## 数学代写|示性类代考Characteristic Classes代考|Cohomology of .5[(2, IR)

Cohomology of $\mathfrak{s}(2, \mathbb{R})$. As an example of cohomology of Lie algebras, here we compute the cohomology of the Lie algebra
$$\mathfrak{s l}(2, \mathbb{R})={X \in M(2, \mathbb{R}) ; \operatorname{Tr} X=0}$$
consisting of all $2 \times 2$ real matrices with $\mathrm{Tr}=0$. We choose
$$X_0=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{array}\right), X_1=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{array}\right), X_2=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{array}\right)$$
for a basis of $\mathfrak{s r}(2, \mathbb{R})$ and let
$$\varphi_0, \varphi_1, \varphi_2 \in C^1(\mathfrak{s l}(2, \mathbb{R}))=\mathfrak{s I}(2, \mathbb{R})^*$$
be its dual basis. Since
$$\left[X_0, X_1\right]:=2 X_1,\left[X_0, X_2\right]=-2 X_2,\left[X_1, X_2\right]=X_0,$$
we have
$$d \varphi_0=-\varphi_1 \wedge \varphi_2, d \varphi_1=-2 \varphi_0 \wedge \varphi_1, d \varphi_2=2 \varphi_0 \wedge \varphi_2 .$$
Hence
$$H^k\left(\boldsymbol { s } ( ( 2 , \mathbb { R } ) ) \quad \left{\begin{array}{ll} \mathbb{R} & k=0,3 \ 0 & k \neq 0,3, \end{array}\right.\right.$$
and we see that $\left[\varphi_0 \varphi_1 \varphi_2\right]$ is a generator of $H^3(\mathfrak{s I}(2, \mathbb{R}))$.
Next we consider the maximal compact subgroup of $S L(2, \mathbb{R})$, which is $S O(2)$, and compute the relative cohomology
$$H^(\mathfrak{s l}(2, \mathbb{R}), S O(2)) \quad H^(\mathfrak{s l}(2, \mathbb{R}), \mathfrak{s o}(2))$$
with respect to it. We can take $X=-X_1+X_2$ as a basis of $\mathfrak{s o}(2)$. Then we have
$$i(X) \varphi_0=0, i(X) \varphi_1=-1, i(X) \varphi_2=1 .$$

## 数学代写|示性类代考Characteristic Classes代考|Flat bundles

2.1.1. 陈-魏尔理论。让 $G$ 是一个李群并且让 $\pi: P \rightarrow M$ 当校长 $G$-㧽绑在 $C^{\infty}$ 歧管 $M$. 即珨出一个正确的动作
$$P \times G \longrightarrow P$$

Local triviality: 对于任何一点 $p \in M$ ，存在一个开邻域 $U \ni p$ 和微分同顺 $\varphi: \pi^{-1}(U) \cong U \times G$ 这样
$$\pi(u g)=\pi(u), \varphi(u g)=\varphi(u) g \quad\left(u \in \pi^{-1}(U), g \in G\right) .$$

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