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# 复分析代考_Complex analysis代考_MATH3711 Mittag-Leffler’s Theorem

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## 复分析代考_Complex analysis代考_Mittag-Leffler’s Theorem

Let $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ be an open subset and let $\left(z_j\right)j$ be a discrete sequence of points in $\Omega$ being different from each other. Furthermore, let $$f_j(z)=\sum{k=1}^{m_j} \frac{A_{j k}}{\left(z-z_j\right)^k}$$
be principle parts in $z_j$.

We want to construct a meromorphic function $f \in \mathcal{M}(\Omega)$ which has the given principle parts in $z_j$. Taking the sum of all principle parts $\sum_{j=1}^{\infty} f_j$ raises the question of convergence of this sum. We will construct terms which leave the given principle parts unchanged, but ensure convergence. For this purpose we will use Runge’s approximation theorem.

Theorem 4.23 (Mittag-Leffler’s ${ }^5$ Theorem). Let $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ be an open subset and let $\left(z_j\right)j$ be a discrete sequence of points in $\Omega$ being different from each other. Let $f_j$ be functions meromorphic in a neighborhood of $z_j, j \in \mathbb{N}$. Then there exists a meromorphic function $f \in \mathcal{M}(\Omega)$ such that $f-f_j$ is holomorphic in a neighborhood of $z_j, j \in \mathbb{N}$, i.e. $f-f_j$ has a removable singularity at $z_j$. We call $f$ a solution of the Mittag-Leffler problem. Proof. By Theorem 2.65, we can assume that $$f_j(z)=\sum{k=1}^{m_j} \frac{A_{j k}}{\left(z-z_j\right)^k}, \quad j \in \mathbb{N} .$$

## 复分析代考_Complex analysis代考_The Weierstraß Factorization Theorem

In order to construct holomorphic functions with prescribed zeroes, we define infinite products first of complex numbers and then of holomorphic functions. The definition of convergent infinite products is suggested by the definition of convergent series.
Definition 4.29. (1) Let $a_n \in \mathbb{C} \backslash{0}, n \in \mathbb{N}$. The product $\prod_{n=1}^{\infty} a_n$ is convergent, if $\lim {N \rightarrow \infty} \prod{n=1}^N a_n$ exists and is not zero.
(2) Let $\left(a_n\right)n$ be an arbitrary sequence in $\mathbb{C}$. The product $\prod{n=1}^{\infty} a_n$ is convergent, if almost all $a_n \neq 0$ and if the product
$$\prod_{n=1, a_n \neq 0}^{\infty} a_n$$
exists in the sense of (1). If one $a_n=0$, we set $\prod_{n=1}^{\infty} a_n=0$.
Remark. If $\prod_{n=1}^{\infty} a_n$ converges, then $\lim {n \rightarrow \infty} a_n=1$; if $\prod{n=1}^{\infty}\left(1+u_n\right)$ converges, then $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=0$.

Lemma 4.30. Let $u_n \neq-1 \forall n \in \mathbb{N}$. If one can choose a value of $\log \left(1+u_n\right)$ for each $n \in \mathbb{N}$ such that $\sum_{n=1}^{\infty} \log \left(1+u_n\right)$ is convergent, then the product $\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+u_n\right)$ is convergent.

Proof. We use the functional equation and the continuity of the exponential function. Since $\sum_{n=1}^{\infty} \log \left(1+u_n\right)$ is convergent, we have
\begin{aligned} \lim {N \rightarrow \infty} \prod{n=1}^N\left(1+u_n\right) &=\lim {N \rightarrow \infty} \prod{n=1}^N \exp \log \left(1+u_n\right)=\lim {N \rightarrow \infty} \exp \left(\sum{n=1}^N \log \left(1+u_n\right)\right) \ &=\exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} \log \left(1+u_n\right)\right) \end{aligned}

## 复分析代考Complex analysis代考_Mittag-Leffler’s Theorem

$$f_j(z)=\sum k=1^{m_j} \frac{A{j k}}{\left(z-z_j\right)^k}$$

$$f_j(z)=\sum k=1^{m_j} \frac{A_{j k}}{\left(z-z_j\right)^k}, \quad j \in \mathbb{N} .$$

## 复分析代考Complex analysis代考_The Weierstraß Factorization Theorem

(2) 让 $\left(a_n\right) n$ 是一个任意序列C. 产品 $n=1^{\infty} a_n$ 是收敛的，如果几乎所有 $a_n \neq 0$ 如果产品
$$\prod_{n=1, a_n \neq 0}^{\infty} a_n$$

$$\lim N \rightarrow \infty \prod n=1^N\left(1+u_n\right)=\lim N \rightarrow \infty \prod n=1^N \exp \log \left(1+u_n\right)=\lim N \rightarrow \infty \exp \left(\sum n=1^N \log \left(1+u_n\right)\right) \quad=\exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} \log \left(1+u_n\right)\right.$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。