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# 统计代写|假设检验代考Hypothesis Testing代考|MAST90104 R and S-PLUS Function

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## 统计代写|假设检验代考Hypothesis Testing代考|R and S-PLUS Function

The function
$$\mathrm{qse}(\mathrm{x}, \mathrm{q}=.5, \mathrm{op}=3)$$
estimates the standard error of $\hat{x}_q$ using Eq. (3.11). As indicated, the default value for $q$ is .5. The argument op determines which density estimator is used to estimate $f\left(x_q\right)$. The choices are:

• $o p=1$, Rosenblatt’s shifted histograms,
• $o p=2$, expected frequence curve,
For example, storing the data in Table $3.2$ in the S-PLUS vector $x$, the command $q$ se $(x, o p=1)$ returns the value $64.3$. In contrast, using $o p=2$ and $o p=3$ yields the estimates $58.94$ and $47.95$, respectively. So the choice of density estimator can make a practical difference.

## 统计代写|假设检验代考Hypothesis Testing代考|The Maritz–Jarrett Estimate of the Standard Error of xˆq

Maritz and Jarrett (1978) derived an estimate of the standard error of sample median, which is easily extended to the more general case involving $\hat{x}_q$. That is, when using a single order statistic, its standard error can be estimated using the method outlined here. It is based on the fact that $E\left(\hat{x}_q\right)$ and $E\left(\hat{x}_q^2\right)$ can be related to a beta distribution. The beta probability density function, when $a$ and $b$ are positive integers, is
$$f(x)=\frac{(a+b+1) !}{a ! b !} x^a(1-x)^b, \quad 0 \leq x \leq 1 .$$

Details about the beta distribution are not important here. Interested readers can refer to N. L. Johnson and Kotz (1970, Ch. 24).

As before, let $m=[q n+.5]$. Let $Y$ be a random variable having a beta distribution with $a=m-1$ and $b=n-m$, and let
$$W_i=P\left(\frac{i-1}{n} \leq Y \leq \frac{i}{n}\right) .$$
Many statistical computing packages have functions that evaluate the beta distribution, so evaluating the $W_i$ values is relatively easy to do. In S-PLUS (and $\mathrm{R}$ ), there is the function pbeta $(\mathrm{x}, \mathrm{a}, \mathrm{b})$, which computes $P(Y \leq x)$. Thus, $W_i$ can be computed by setting $x=i / n, y=(i-1) / n$, in which case $W_i$ is pbeta $(x, m-1, n-m)$ minus pbeta $(y, m-1, n-m)$.
Let
$$C_k=\sum_{i=1}^n W_i X_{(i)}^k$$
When $k=1, C_k$ is a linear combination of the order statistics. Linear sums of order statistics are called L-estimators. Other examples of L-estimators are the trimmed and Winsorized means already discussed. The point here is that $C_k$ can be shown to estimate $E\left(X_{(m)}^k\right)$, the $k$ th moment of the $m$ th-order statistic. Consequently, the standard error of the $m$ th-order statistic, $X_{(m)}=\hat{x}_q$, is estimated with
$$\sqrt{C_2-C_1^2} .$$
Note that when $n$ is odd, this last equation provides an alternative to the McKean-Schrader estimate of the standard error of $M$ described in Section 3.3.4. Based on limited studies, it seems that when computing confidence intervals or testing hypotheses based on $M$, the McKean-Schrader estimator is preferable.

## 统计代写|假设检验代考Hypothesis Testing代考|R and S-PLUS Function

$$\mathrm{qse}(\mathrm{x}, \mathrm{q}=.5, \mathrm{op}=3)$$

$o p=1$, Rosenblatt 的移位直方图,

$o p=2$, 预期频率曲线

$o p=3$, 目适应核方法。

## 统计代写|假设检验代考Hypothesis Testing代考|The Maritz-Jarrett Estimate of the Standard Error of $x^{-} q$

Maritz 和 Jarrett (1978) 得出了样本中位数标准误差的估计值，这很容易扩展到更一般的情况，涉及 $\hat{x}{q \text {. }}$ 也就是说，当使用单阶 统计量时，可以使用此处概述的方法估算其标准误差。这是基于这样一个事实 $E\left(\hat{x}_q\right)$ 和 $E\left(\hat{x}_q^2\right)$ 可能与 beta 分布有关。beta概 率密度函数，当 $a$ 和 $b$ 是正整数，是 $$f(x)=\frac{(a+b+1) !}{a ! b !} x^a(1-x)^b, \quad 0 \leq x \leq 1 .$$ 关于 beta 分布的细节在这里并不重要。有兴趣的读者可以参考 NL Johnson 和 Kotz (1970, Ch. 24)。 和以前一样，让 $m=[q n+.5]$. 让 $Y$ 是具有 beta分布的随机栾量 $a=m-1$ 和 $b=n-m$ ，然后让 $$W_i=P\left(\frac{i-1}{n} \leq Y \leq \frac{i}{n}\right)$$ 许多统计计算包具有评估 beta 分布的函数，因此评估 $W_i$ 值是比较容易做到的。在 S-PLUS（和 $\left.\mathrm{R}\right)$ ，有函数 pbeta( $\left.\mathrm{x}, \mathrm{a}, \mathrm{b}\right)$ ，计算 $P(Y \leq x)$. 因此， $W_i$ 可以通过设置算 $x=i / n, y=(i-1) / n$ ， 在这种情况下 $W_i$ 是 $\beta \beta(x, m-1, n-m)$ 较少的 $\beta \beta$ $(y, m-1, n-m)$. 让 $$C_k=\sum{i=1}^n W_i X_{(i)}^k$$

$$\sqrt{C_2-C_1^2}$$

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