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# 统计代写|抽样理论代考Sampling Theory代写|CPD147 Sampling Scheme

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## 统计代写|抽样理论代考Sampling Theory代写|Sampling Scheme

On the first draw a unit is selected from the population of $N$ units at random (with probability $1 / N$ ). On the second draw, another unit is selected at random from the remaining $N-1$ units, which were not selected in the first draw. In general, at the $r$ th draw, a unit is selected at random with probability $p_i(r)=\frac{1}{N-(r-1)}$ from $N-(r-1)$ units, which were not selected in the earlier $r-1$ draws where $r=1, \ldots, n$ and $n$ is the required sample size. So, for an SRSWOR sampling scheme, the probability of selection of an ordered sample $s_o=\left(i_1 \rightarrow i_2, \ldots, \rightarrow i_n\right)$ is $p\left(s_o\right)=\frac{1}{N} \cdot \frac{1}{N-1} \cdots \frac{1}{N-n+1}$, where the unit $i_k$ is selected at the $k$ th draw. Hence the probability of selection of an unordered sample $s=\left(j_1, \ldots\right.$, $\left.j_k, \ldots, j_n\right)$ obtained from $s_o$ by arranging their label in ascending order as $j_1<\cdots<j_k \cdots<j_n$ is given by
$$p(s)=n ! \cdot \frac{1}{N} \cdot \frac{1}{N-1} \cdots \frac{1}{N-n+1}=1 /\left(\begin{array}{c} N \ n \end{array}\right)$$

Therefore, the total number of distinct unordered samples of size $n$ is $\left(\begin{array}{c}N \ n\end{array}\right)$.
Theorem 3.2.1
The unconditional probability of selection of a unit at any draw is $1 / \mathrm{N}$.
Proof
The probability of selection of an ordered sample $s_o=\left(i_1 \rightarrow i_2, \ldots, \rightarrow i_n\right)$ is $p\left(s_0\right)=1 /\left[n !\left(\begin{array}{c}N \ n\end{array}\right)\right]$.

Hence the unconditional probability of selection of the $i$ th unit at $k$ th draw $=p\left(s_o\right) \times$ number of ways we can permute $(n-1)$ integers $\left(i_1, \ldots\right.$, $\left.i_{k-1}, i_{k+1}, \ldots, i_n\right)$ taking from the $(N-1)$ integers $1, \ldots, i-1, i+1, \ldots$, $N=\left(\begin{array}{c}N-1 \ n-1\end{array}\right)(n-1) ! p\left(s_o\right)=\frac{1}{N}$

## 统计代写|抽样理论代考Sampling Theory代写|Estimation of Population Mean and Variance

Let $\bar{\gamma}(s)=\sum_{i \in s} \gamma_i / n$ be the sample mean based on an unordered sample $s$. Then,
(i) $\bar{Y}(s)$ is an unbiased estimator for the population mean $\bar{Y}$
(ii) Variance of $\bar{y}(s)$ is
$$V(\bar{y}(s))=\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{N}\right) S_\gamma^2=\frac{1}{n}\left(1-f_n\right) S_y^2$$
where $S_\gamma^2=\sum_{i=1}^N\left(y_i-\bar{Y}\right)^2 /(N-1)$ and $f_n=n / N$ is known as a sampling fraction.
(iii) An unbiased estimator of $V(\bar{y}(s))$ is
$$\widehat{V}(\bar{y}(s))=\frac{1}{n}\left(1-f_n\right) s_y^2$$
where $s_y^2=\sum_{i \in s}\left(y_i-\bar{\gamma}(s)\right)^2 /(n-1)$ is the sample variance.
Proof (i) Let $\mathscr{e}$ be the set of all possible $\left(\begin{array}{c}N \ n\end{array}\right)$ unordered samples of size $n$ and $I_{s i}=\left{\begin{array}{lll}1 & \text { if } & i \in s \ 0 & \text { if } i \notin s\end{array}\right.$.
Then, $\bar{\gamma}(s)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^N I_{s i} y_i$

and
\begin{aligned} E(\bar{y}(s)) &=\sum_{s \in \mathcal{J}} \bar{y}(s) p(s)=\frac{1}{n} \sum_{s \in \mathcal{J}} \sum_{i=1}^N y_i I_{s i} /\left(\begin{array}{l} N \ n \end{array}\right) \ &=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^N y_i \sum_{s \in \mathcal{J}} I_{s i} /\left(\begin{array}{l} N \ n \end{array}\right) \end{aligned}

# 抽样理论代写

## 统计代写|抽样理论代考Sampling Theory代写|Sampling Scheme

$s_o=\left(i_1 \rightarrow i_2, \ldots, \rightarrow i_n\right)$ 是 $p\left(s_o\right)=\frac{1}{N} \cdot \frac{1}{N-1} \cdots \frac{1}{N-n+1}$, 其中单位 $i_k$ 被选在 $k$ 第次抽奖。因此，选择无序样本的概率 $s=\left(j_1, \ldots, j_k, \ldots, j_n\right)$ 从…获取 $s_o$ 通过按升序非列它们的标签 $j_1<\cdots<j_k \cdots<j_n$ 是 (谁) 给的
$$p(s)=n ! \cdot \frac{1}{N} \cdot \frac{1}{N-1} \cdots \frac{1}{N-n+1}=1 /(N n)$$

Proof

$\left.i_{k-1}, i_{k+1}, \ldots, i_n\right)$ 从 $(N-1)$ 整数 $1, \ldots, i-1, i+1, \ldots, N=(N-1 n-1)(n-1) ! p\left(s_o\right)=\frac{1}{N}$

## 统计代写|抽样理论代考Sampling Theory代写|Estimation of Population Mean and Variance

( $-\bar{Y}(s)$ 是总体均值的无偏估计量 $\bar{Y}$
(ii) 方差 $\bar{y}(s)$ 是
$$V(\bar{y}(s))=\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{N}\right) S_\gamma^2=\frac{1}{n}\left(1-f_n\right) S_y^2$$

(iii) 的无偏估计量 $V(\bar{y}(s))$ 是
$$\widehat{V}(\bar{y}(s))=\frac{1}{n}\left(1-f_n\right) s_y^2$$

1 if $\quad i \in s 0 \quad$ if $i \notin s$

$$E(\bar{y}(s))=\sum_{s \in \mathcal{J}} \bar{y}(s) p(s)=\frac{1}{n} \sum_{s \in \mathcal{J}} \sum_{i=1}^N y_i I_{s i} /(N n) \quad=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^N y_i \sum_{s \in \mathcal{J}} I_{s i} /(N n)$$

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