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# 数学代写|微积分代写Calculus代考|MATH1023 PUTTING TERMS OVER A COMMON DENOMINATOR

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## 数学代写|微积分代写Calculus代考|PUTTING TERMS OVER A COMMON DENOMINATOR

Many times a simple algebraic manipulation involving fractions will put a limit into a form which can be studied using l’Hôpital’s Rule.
EXAMPLE $5.10$
Evaluate the limit
$$\lim {x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\sin 3 x}-\frac{1}{3 x}\right]$$ SOLUTION We put the fractions over a common denominator to rewrite our limit as $$\lim {x \rightarrow 0}\left[\frac{3 x-\sin 3 x}{3 x \cdot \sin 3 x}\right] .$$
Both numerator and denominator vanish as $x \rightarrow 0$. Thus the quotient has indeterminate form 0/0. By l’Hôpital’s Rule, the limit is therefore equal to
$$\lim {x \rightarrow 0} \frac{3-3 \cos 3 x}{3 \sin 3 x+9 x \cos 3 x} .$$ This quotient is still indeterminate; we apply l’Hôpital’s Rule again to obtain $$\lim {x \rightarrow 0} \frac{9 \sin 3 x}{18 \cos 3 x-27 x \sin 3 x}=0 .$$

## 数学代写|微积分代写Calculus代考|OTHER ALGEBRAIC MANIPULATIONS

Sometimes a factorization helps to clarify a subtle limit:
EXAMPLE $5.12$
Evaluate the limit
$$\lim {x \rightarrow+\infty}\left[x^2-\left(x^4+4 x^2+5\right)^{1 / 2}\right]$$ SOLUTION The limit as written is of the form $\infty-\infty$. We rewrite it as $$\lim {x \rightarrow+\infty} x^2\left[1-\left(1+4 x^{-2}+5 x^{-4}\right)^{1 / 2}\right]=\lim {x \rightarrow+\infty} \frac{1-\left(1+4 x^{-2}+5 x^{-4}\right)^{1 / 2}}{x^{-2}}$$ Notice that both the numerator and denominator tend to zero, so it is now indeterminate of the form 0/0. We may thus apply l’Hôpital’s Rule. The result is that the limit equals \begin{aligned} &\lim {x \rightarrow+\infty} \frac{(-1 / 2)\left(1+4 x^{-2}+5 x^{-4}\right)^{-1 / 2} \cdot\left(-8 x^{-3}-20 x^{-5}\right)}{-2 x^{-3}} \ &=\lim _{x \rightarrow+\infty}-\left(1+4 x^{-2}+5 x^{-4}\right)^{-1 / 2} \cdot\left(2+5 x^{-2}\right) . \end{aligned}

## 数学代写|微积分代写Calculus代考|PUTTING TERMS OVER A COMMON DENOMINATOR

$$\lim x \rightarrow 0\left[\frac{1}{\sin 3 x}-\frac{1}{3 x}\right]$$

$$\lim x \rightarrow 0\left[\frac{3 x-\sin 3 x}{3 x \cdot \sin 3 x}\right] .$$

$$\lim x \rightarrow 0 \frac{3-3 \cos 3 x}{3 \sin 3 x+9 x \cos 3 x} .$$

$$\lim x \rightarrow 0 \frac{9 \sin 3 x}{18 \cos 3 x-27 x \sin 3 x}=0 .$$

## 数学代写|微积分代写Calculus代考|OTHER ALGEBRAIC MANIPULATIONS

$$\lim x \rightarrow+\infty\left[x^2-\left(x^4+4 x^2+5\right)^{1 / 2}\right]$$

$$\lim x \rightarrow+\infty x^2\left[1-\left(1+4 x^{-2}+5 x^{-4}\right)^{1 / 2}\right]=\lim x \rightarrow+\infty \frac{1-\left(1+4 x^{-2}+5 x^{-4}\right)^{1 / 2}}{x^{-2}}$$

$$\lim x \rightarrow+\infty \frac{(-1 / 2)\left(1+4 x^{-2}+5 x^{-4}\right)^{-1 / 2} \cdot\left(-8 x^{-3}-20 x^{-5}\right)}{-2 x^{-3}} \quad=\lim _{x \rightarrow+\infty}-\left(1+4 x^{-2}+5 x^{-4}\right)^{-1 / 2} \cdot\left(2+5 x^{-2}\right)$$

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。