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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|MATH2722 Reduction of Matrices to simpler Form

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数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Reduction of Matrices to simpler Form

The most common methods for determining the eigenvalues and eigenvectors of a dense matrix $A$ proceed as follows. By means of a finite number of similarity transformations
$$\begin{gathered} A=A_0 \rightarrow A_1 \rightarrow \cdots \rightarrow A_m, \ A_i=T_i^{-1} A_{i-1} T_i, \quad i=1,2, \ldots, m, \end{gathered}$$
one first transforms the matrix $A$ into a matrix $B$ of simpler form,
$$B:=A_m=T^{-1} A T, \quad T:=T_1 T_2 \cdots T_m,$$
and then determines the eigenvalues $\lambda$ and eigenvectors $y$ of $B, B y=\lambda y$. For $x:=T y=T_1 \cdots T_m y$, since $B=T^{-1} A T$, we then have
$$A x=\lambda x,$$
i.e., to the eigenvalue $\lambda$ of $A$ there belongs the eigenvector $x$. The matrix $B$ is chosen in such a way that
(1) the determination of the eigenvalues and eigenvectors of $B$ is as simple as possible (i.e., requires as few operations as possible) and
(2) the eigenvalue problem for $B$ is not (substantially) worse conditioned than that for $A$ (i.e., small changes in the matrix $B$ do not impair the eigenvalues of $B$, nor therefore those of $A$, substantially more than equally small changes in $A$ ).

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Reduction of a Hermitian Matrix to Tridiagonal Form. The Method of Householder

In the method of Householder for the tridiagonalization of a Hermitian $n \times n$ matrix $A^H=A=: A_0$, one uses suitable Householder matrices [see Section 4.7]
$$T_i^H=T_i^{-1}=T_i=I-\beta_i u_i u_i^H$$
for the transformation
$$A_i=T_i^{-1} A_{i-1} T_i .$$
We assume that the matrix $A_{i-1}=\left(\alpha_{j k}\right)$ has already the following form:
$$A_{i-1}=\left[\begin{array}{c|c|c} J_{i-1} & c & 0 \ \hline c^H & \delta_i & a_i^H \ \hline 0 & a_i & \tilde{A}{i-1} \end{array}\right]=\left(\alpha{j k}\right)$$
with
$$\left[\begin{array}{c|c} J_{i-1} & c \ \hline c^H & \delta_i \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc|c} \delta_1 & \bar{\gamma}2 & & 0 & 0 \ \gamma_2 & \delta_2 & \ddots & \vdots & \vdots \ & \ddots & \ddots & \bar{\gamma}{i-1} & 0 \ 0 & \cdots & \gamma_{i-1} & \delta_{i-1} & \bar{\gamma}i \ \hline 0 & \cdots & 0 & \gamma_i & \delta_i \end{array}\right], \quad a_i=\left[\begin{array}{c} \alpha{i+1, i} \ \vdots \ \alpha_{n i} \end{array}\right] .$$

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Reduction of Matrices to simpler Form

$$A=A_0 \rightarrow A_1 \rightarrow \cdots \rightarrow A_m, A_i=T_i^{-1} A_{i-1} T_i, \quad i=1,2, \ldots, m,$$

$$B:=A_m=T^{-1} A T, \quad T:=T_1 T_2 \cdots T_m,$$

$$A x=\lambda x,$$

(1) 的特征值和特征向量的确定 $B$ 尽可能简单 (即需要尽可能少的操作) 和
(2) 的特征值问题 $B$ 并不 (实质上) 比 $A$ (即矩牲微小变化 $B$ 不损害的特征值 $B$ ，因此也不是那些 $A$ ，大大超过同样小的变化 $A$ ).

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Reduction of a Hermitian Matrix to Tridiagonal Form. The Method of Householder

$$T_i^H=T_i^{-1}=T_i=I-\beta_i u_i u_i^H$$

$$A_i=T_i^{-1} A_{i-1} T_i .$$

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。