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# 数学代写|随机过程Stochastic Porcesses代考|STAT507 Wald’s Equation and Wald’s Identity

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## 数学代写|随机过程Stochastic Porcesses代考|Wald’s Equation and Wald’s Identity

Theorem $3.2$ (Wald’s equation) Let $\left{X_i\right}$ be a sequence of i.i.d. r.v.s with $E(N)<\infty$. If $E\left|X_1\right|<\infty$ then $E\left(S_N\right)=\left(E X_1\right) E N$.
If moreover, $\sigma^2=\operatorname{var}\left(X_1\right)<\infty$, then $E\left(S_N-N \mu\right)^2=\sigma^2 E(N)$, where $\mu=E\left(X_1\right)$.
Proof
\begin{aligned} E\left(S_N\right) &=\sum_{n=1}^{\infty} E^{\prime}\left(S_N \mid N=n\right) P[N=n] \ &=\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{i=1}^n P[N=n] E\left(X_i \mid N=n\right) \ &=\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{n=i}^{\infty} P[N=n] E\left(X_i \mid N=n\right) \end{aligned}
(interchanging the order of summation)
\begin{aligned} \left|\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{n=i}^{\infty} E\left(X_i \mid N=n\right) P(N=n)\right| \leq & \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{n=i}^{\infty} E\left(\left|X_i\right| \mid N=n\right) P(N=n) \ =E\left|X_t\right| E(N)<\infty \quad & \text { (Fubini condition is satisfied) } \end{aligned}
Therefore
\begin{aligned} E\left(S_N\right) &=\sum_{i=1}^{\infty} P[N \geq i] E\left(X_i \mid N \geq i\right) \text { (since } N \geq i \text { depends on } X_1, \ldots, X_{i-1} \text { only) } \ &=\sum_{i=1}^{\infty} P[N \geq i] E\left(X_i\right)=E\left(X_i\right) E(N) \end{aligned}

## 数学代写|随机过程Stochastic Porcesses代考|Wald’s fundamental identit

Let $X_1, X_2, \ldots$ are i.i.d. r.v.s with $S_n=X_1+X_2+\ldots+X_n$ and $N$ is a stopping rule.

Let $F_n(x)=P\left[S_n \leq x\right], F_1(x)=F(x)=P\left[X_1 \leq x\right]$ and m.g.f. of $X_1$ is given by
$$\phi(\theta)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{\theta x} d F(x)<\infty \text { if } \phi(\sigma)<\infty, \text { where } \sigma=\operatorname{Re}(\theta)$$ We also assume that $$\phi(\sigma)<\infty \text { for all } \sigma,-\beta<\sigma<\alpha<\infty, \alpha, \beta>0 .$$
Under these conditions, $P\left[e^X<1-\delta\right]>0$ and $P\left[e^X>1+\delta\right]>0, \delta>0$. $\phi(\theta)$ has a minimum at $\theta=\theta_0 \neq 0$, where $\theta_0$ is the root of the equation $\phi(\theta)=1$
Wald’s Sequential Analysis presented the so-called Wald’s identify
$$E\left(e^{\theta S_N} /[\phi(\theta)]^N\right)=1 \text { for } \phi(\theta)<\infty \text { and }|\phi(\theta)| \geq 1$$
Actually we shall give the proof of a more general theorem in Random walk due to Miller and Kemperman (1961).

Define $F_n(x)=P\left[S_n \leq x ; N \geq n\right], N=\min \left{n \mid S_n \notin(-b, a), 0<a, b<\infty\right}$ and the series $F(z, \theta)=\sum_{n=0}^{\infty} z^n \int_{-b}^a e^{\theta x} d F_n(x)$

## 数学代写|随机过程Stochastic Porcesses代考|Wald’s Equation and Wald’s Identity

iidrv 序列 $E(N)<\infty$. 如果 $E\left|X_1\right|<\infty$ 然 后 $E\left(S_N\right)=\left(E X_1\right) E N$. 此外，如果 $\sigma^2=\operatorname{var}\left(X_1\right)<\infty$ ，然后 $E\left(S_N-N \mu\right)^2=\sigma^2 E(N)$ ， 在哪里 $\mu=E\left(X_1\right)$. 证明 $$E\left(S_N\right)=\sum_{n=1}^{\infty} E^{\prime}\left(S_N \mid N=n\right) P[N=n] \quad=\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{i=1}^n P[N=n] E\left(X_i \mid N=n\right)=\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{n=i}^{\infty} P[N=n] E\left(X_i \mid N=n\right)$$ (交换求和顺序) $$\left|\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{n=i}^{\infty} E\left(X_i \mid N=n\right) P(N=n)\right| \leq \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{n=i}^{\infty} E\left(\left|X_i\right| \mid N=n\right) P(N=n)=E\left|X_t\right| E(N)<\infty$$ (Fubini condition is satisfied) 所以 $$E\left(S_N\right)=\sum_{i=1}^{\infty} P[N \geq i] E\left(X_i \mid N \geq i\right) \text { (since } N \geq i \text { depends on } X_1, \ldots, X_{i-1} \text { only) } \quad=\sum_{i=1}^{\infty} P[N \geq i] E\left(X_i\right)=E\left(X_i\right) E(N)$$

## 数学代写|随机过程Stochastic Porcesses代考|Wald’s fundamental identit

Wald 的序列分析提出了所谓的 Wald 身份
$$E\left(e^{\theta S_N} /[\phi(\theta)]^N\right)=1 \text { for } \phi(\theta)<\infty \text { and }|\phi(\theta)| \geq 1$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。