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# 数学代写|随机过程Stochastic Porcesses代考|STATS217 Classification of States

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## 数学代写|随机过程Stochastic Porcesses代考|Nonhomogeneous Poisson processes

It may be possible that $p_{i j}=0, p_{i j}^{(2)}=0$ but $p_{i j}^{(3)}>0$. We say that the state $j$ is accessible from state $i$ if $p_{i j}^{(n)}>0$ for some $n>0$. In notation $i \rightarrow j$, i.e. $i$ leads to $j$. If $i \rightarrow j$ and $j \rightarrow i$, then $i$ and $j$ communicate and we denote this by $i \leftrightarrow j$.
Definition 2.4 The state $i$ is essential if $i \rightarrow j$ implies $i \leftarrow j$, i.e. if any state $j$ is accessible from $i$, then $i$ is accessible from that state. We shall let $\mathfrak{S}$ denote the set of all essential states. States that are not essential are called inessential.
Lemma $2.1 \quad i \leftrightarrow j$ defines an equivalence relation on $\mathfrak{J}$, the class of essential states.
Proof $i \leftrightarrow i$ (reflexivity)
(i) Since for each $i, \sum_{j \varepsilon s} p_{i j}=1$ there exists at least one $j$ for which $p_{i j}>0$. But if $i$ is essential then there exists $m \geq 1$ such that $p_{j i}^{(m)}>0$. So by ChapmenKolmogrov equation $p_{i i}^{(m+1)} \geq p_{i j} p_{j i}^{(m)}>0$.
(ii) $i \leftrightarrow j \Leftrightarrow j \leftrightarrow i$ (symmetry)
(iii) $i \leftrightarrow j$ and $j \leftrightarrow k \Rightarrow i \leftrightarrow k$ (transitivity)
Proof of (iii)
To prove $i \rightarrow k$, since $i \rightarrow j p_{j i}^{(n)}>0$ for some $n \geq 1$ and $j \rightarrow k, p_{j k}^{(m)}>0$ for some $m \geq 1$.
Claim: $p_{i k}^{(l)}>0$ for some $l \geq 1$
$$0<p_{i j}^{(n)} p_{j k}^{(m)} \leq \sum_{j \in s} p_{i j}^{(n)} p_{j k}^{(m)}=p_{i k}^{(n+m)} \text { (Chapman-Kolmogorov) }$$
Taking $l=m+n$,
$i \rightarrow k$ and similarly $k \rightarrow i \Rightarrow i \leftrightarrow k$
By Lemma 2.1, i.e. $\mathfrak{I}=\cup{C(i)$, where $C(i)={j \in \mathfrak{J} \mid i \leftrightarrow j}$ is called a communicating class, i.e. the class of essential states is partitioned into disjoint equivalent classes (communicating classes).

## 数学代写|随机过程Stochastic Porcesses代考|Classification of stat

Let $f_{i j}^{(n)}=P\left[X_n=j, X_{n-1} \neq j, X_{n-2} \neq j, \ldots, X_1 \neq j \mid X_0=i\right]$, i.e. probability of arriving at $j$ at time $n$ for the first time, given that the process starts at $i$.
Define $f_{i j}^{(0)}=0$. Note that $f_{i j}^{(n)}=P\left[T_{i j}=n\right]$, where
$$T_{i j}=\min \left{n: X_n=j \mid X_0=i\right}$$
$f_{i j}^{(n)}$ are called the first entrance probability at $n$th step if $i \neq j$ and recurrence probability at the $n$th step.

Note $f_{i j}^{(1)}=p_{j j}$ gives the diagonal of the transition matrix.
Theorem $2.4 \quad p_{i j}^{(n)}=\sum_{m=1}^n f_{i j}^{(m)} p_{j j}^{(n-m)}$ for all $m=1,2, \ldots n$.
Proof
\begin{aligned} p_{i j}^{(n)} &=P\left[X_n=j \mid X_0=i\right] \ &\left.=\sum_{m=1}^n \frac{P\left[X_n=j\right.}{A}, \frac{X_m=j, X_{m-1} \neq j, \ldots, X_1 \neq j}{B_m} \mid X_0=i\right] \ C \ &=\sum_{m=1}^n P\left[A B_m \mid C\right] \end{aligned}
where $B_m$ are disjoint (mutually exclusive) and $\bigcup_{m-1}^n B_m \supset A$.
Hence
\begin{aligned} P_{i j}^{(n)} &=\sum_{m=1}^n \frac{P\left(A B_m C\right) P\left(B_m C\right)}{P(C) P\left(B_m C\right)} \ &=\sum_{m=1}^n P\left(A \mid B_m C\right) P\left(B_m \mid C\right) \ &=\sum_{m=1}^n P\left[X_n=j \mid X_m=j, X_{m-1} \neq j, \ldots, X_1 \neq j, X_0=i\right] \ P\left[X_m\right.&\left.=j, X_{m-1} \neq j, \ldots, X_1 \neq j \mid X_0=i\right] \ &=\sum_{m=1}^n P\left(X_n=j \mid X_m=j\right) f_{i j}^{(m)} \ &=\sum_{m=1}^n P_{j i}^{(n-m)} f_{i j}^{(m)} \end{aligned}

## 数学代写|随机过程Stochastic Porcesses代考|Nonhomogeneous Poisson processes

(i) 因为对于每个 $i, \sum_{j e s} p_{i j}=1$ 至少存在一个 $j$ 为了哪个 $p_{i j}>0$. 但是如果 $i$ 是本质的那 $\angle$ 存在 $m \geq 1$ 这样 $p_{j i}^{(m)}>0$. 所以由 Chapmenkolmogrov 方程 $p_{i i}^{(m+1)} \geq p_{i j} p_{j i}^{(m)}>0$.
(二) $i \leftrightarrow j \Leftrightarrow j \leftrightarrow i$ (对称)
(iii) $i \leftrightarrow j$ 和 $j \leftrightarrow k \Rightarrow i \leftrightarrow k$ (传递性)

$$0<p_{i j}^{(n)} p_{j k}^{(m)} \leq \sum_{j \in s} p_{i j}^{(n)} p_{j k}^{(m)}=p_{i k}^{(n+m)} \text { (Chapman-Kolmogorov) }$$

$i \rightarrow k$ 同桻 $k \rightarrow i \Rightarrow i \leftrightarrow k$ 本质状态类皱划分为不相交的等价类 (互通类)。

## 数学代写|随机过程Stochastic Porcesses代考|Classification of stat

\left 缺少或无法识别的分隔符
$f_{i j}^{(n)}$ 称为首次进入概率 $n$ 第步如果 $i \neq j$ 和复发概率 $n$ 第步。

$$\left.p_{i j}^{(n)}=P\left[X_n=j \mid X_0=i\right] \quad=\sum_{m=1}^n \frac{P\left[X_n=j\right.}{A}, \frac{X_m=j, X_{m-1} \neq j, \ldots, X_1 \neq j}{B_m} \mid X_0=i\right] C=\sum_{m=1}^n P\left[A B_m \mid C\right]$$

$$P_{i j}^{(n)}=\sum_{m=1}^n \frac{P\left(A B_m C\right) P\left(B_m C\right)}{P(C) P\left(B_m C\right)} \quad=\sum_{m=1}^n P\left(A \mid B_m C\right) P\left(B_m \mid C\right)=\sum_{m=1}^n P\left[X_n=j \mid X_m=j, X_{m-1} \neq j, \ldots, X_1 \neq j, X_0=i\right] P\left[X_m \quad=j, X_m\right.$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。