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# 数学代写|多复变函数论代考Multivariable Complex Analysis代写|MATH1023 Smooth approximate identities and cutoff functions

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## 数学代写|多复变函数论代考Multivariable Complex Analysis代写|Smooth approximate identities and cutoff functions

In various problems, the first step towards a holomorphic solution is the construction of smooth approximate solutions. For that step we need smooth cutoff functions and they are constructed with the aid of suitable $C^{\infty}$ functions of compact support. The latter play an important role in analysis, for example, as test functions in the theory of distributions, cf. Chapter 11.
The precursor is the $C^{\infty}$ function on $\mathbb{R}$ defined by
$$\sigma(x)= \begin{cases}e^{-1 / x} & \text { for } x>0 \ 0 & \text { for } x \leq 0\end{cases}$$
its first and higher derivatives at 0 are all equal to 0 . One next defines a $C^{\infty}$ function $\tau$ on $\mathbb{R}$ with support $[-1,1]$ by setting
$$\tau(x)=\sigma{2(1+x)} \sigma{2(1-x)}= \begin{cases}\exp \left(-\frac{1}{1-x^2}\right) & \text { for }|x|<1 \ 0 & \text { for }|x| \geq 1\end{cases}$$

## 数学代写|多复变函数论代考Multivariable Complex Analysis代写|Use of the ∂ equation for analytic continuation

We can now prove the Hartogs-Osgood-Brown continuation theorem:
Theorem 3.4.1. Let $D$ be a connected domain in $\mathbb{C}^n$ with $n \geq 2$ and let $K$ be a compact subset of $D$ such that $D-K$ is connected. Then every holomorphic function $f$ on $D-K$ has an analytic continuation to $D$.
Proof. Let $f$ be any function in $\mathcal{O}(D-K)$.
(i) We first construct a $C^{\infty}$ approximate solution $g$ to the continuation problem. Since we do not know how $f$ behaves near $K$, we will start with the values of $f$ at some distance from $K$. For any $\rho \geq 0$, let $K_\rho$ denote the $\rho$-neighbourhood of $K$. Choosing $0<\epsilon<d(K, \partial D) / 3$, we set $S=\mathbb{C}^n-\bar{K}{3 \epsilon}$, so that the open set $S$ contains the whole boundary $\partial D$. For later use, the unbounded component of $S$ is called $S{\infty}$.

Now select a $C^{\infty}$ cutoff function $\omega$ on $\mathbb{C}^n \sim \mathbb{R}^{2 n}$ which is equal to 1 on $S$ and equal to 0 on $K_\epsilon$. [Use Proposition 3.3.2 with $2 n$ instead of $n$.] We then define $g$ on $D$ by setting
$$g= \begin{cases}\omega f & \text { on } D-K, \ 0 & \text { on } K .\end{cases}$$
This $g$ is of class $C^{\infty}$ [because $\omega$ vanishes near $\partial K$ ] and
$$g=f \quad \text { on } \quad D \cap S$$
[where $\omega=1$ ]. Thus $g$ furnishes a $C^{\infty}$ continuation to $D$ of the restriction of $f$ to $D \cap S$.

# 多复变函数论代考

## 数学代写|多复变函数论代考Multivariable Complex Analysis代写|Smooth approximate identities and cutoff functions

$$\sigma(x)=\left{e^{-1 / x} \quad \text { for } x>00 \quad \text { for } x \leq 0\right.$$

$$\tau(x)=\sigma 2(1+x) \sigma 2(1-x)=\left{\exp \left(-\frac{1}{1-x^2}\right) \quad \text { for }|x|<10 \quad \text { for }|x| \geq 1\right.$$

## 数学代写|多复变函数论代考Multivariable Complex Analysis代写|Use of the $\partial$ equation for analytic continuation

(i) 我们首先构造一个 $C^{\infty}$ 近似解 $g$ 到延续问题。由于我们不知道如何 $f$ 举止接近 $K$ ，我们将从以下值开始 $f$ 在一定距离 $K$. 对于任何 $\rho \geq 0 ，$ 让 $K_\rho$ 表示 $\rho$-附近的 $K$. 选择 $0<\epsilon<d(K, \partial D) / 3$ ，我们设置 $S=\mathbb{C}^n-\bar{K} 3 \epsilon$ ，使得开集 $S$ 包含整个边界 $\partial D$. 为了以 后使用，无界组件 $S$ 叫做 $S \infty$.

$$g={\omega f \quad \text { on } D-K, 0 \quad \text { on } K .$$

$$g=f \quad \text { on } \quad D \cap S$$
[在哪里 $\omega=1$ ]. 因此 $g$ 提供一个 $C^{\infty}$ 继续 $D$ 的限制 $f$ 至 $D \cap S$.

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## MATLAB代写

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