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# 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|MATH453 Compactness

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## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Compactness

Compactness results play a central role in the analysis of PDEs. Typically, we construct a sequence of approximate solutions of a PDE and show that they belong to a compact set. We then extract a convergent subsequence of approximate solutions and attempt to show that their limit is a solution of the original PDE. There are two main types of compactness – weak and strong compactness. We begin with criteria for strong compactness.

A subset $F$ of a metric space $X$ is precompact if the closure of $F$ is compact; equivalently, $F$ is precompact if every sequence in $F$ has a subsequence that converges in $X$. The Arzelà-Ascoli theorem gives a basic criterion for compactness in function spaces: namely, a set of continuous functions on a compact metric space is precompact if and only if it is bounded and equicontinuous. We state the result explicitly for the spaces of interest here.

THEOREM 1.14. Suppose that $\Omega$ is a bounded open set in $\mathbb{R}^n$. A subset $\mathcal{F}$ of $C(\bar{\Omega})$, equipped with the maximum norm, is precompact if and only if:
(1) there exists a constant $M$ such that
$$|f|_{\infty} \leq M \quad \text { for all } f \in \mathcal{F} ;$$
(2) for every $\epsilon>0$ there exists $\delta>0$ such that if $x, x+h \in \bar{\Omega}$ and $|h|<\delta$ then
$$|f(x+h)-f(x)|<\epsilon \quad \text { for all } f \in \mathcal{F} .$$

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Averages

For $x \in \mathbb{R}^n$ and $r>0$, let
$$B_r(x)=\left{y \in \mathbb{R}^n:|x-y|<r\right}$$
denote the open ball centered at $x$ with radius $r$, and
$$\partial B_r(x)=\left{y \in \mathbb{R}^n:|x-y|=r\right}$$
the corresponding sphere.
The volume of the unit ball in $\mathbb{R}^n$ is given by
$$\alpha_n=\frac{2 \pi^{n / 2}}{n \Gamma(n / 2)}$$
where $\Gamma$ is the Gamma function, which satisfies
$$\Gamma(1 / 2)=\sqrt{\pi}, \quad \Gamma(1)=1, \quad \Gamma(x+1)=x \Gamma(x) .$$
Thus, for example, $\alpha_2=\pi$ and $\alpha_3=4 \pi / 3$. An integration with respect to polar coordinates shows that the area of the $(n-1)$-dimensional unit sphere is $n \alpha_n$.
We denote the average of a function $f \in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$ over a ball $B_r(x) \Subset \Omega$, or the corresponding sphere $\partial B_r(x)$, by
(1.3) $f_{B_r(x)} f d x=\frac{1}{\alpha_n r^n} \int_{B_r(x)} f d x, \quad f_{\partial B_r(x)} f d S=\frac{1}{n \alpha_n r^{n-1}} \int_{\partial B_r(x)} f d S$.
If $f$ is continuous at $x$, then
$$\lim {r \rightarrow 0^{+}} f{B_r(x)} f d x=f(x)$$

# 偏微分方程代写

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Compactness

(1) 存在一个常量 $M$ 这样
$$|f|{\infty} \leq M \quad \text { for all } f \in \mathcal{F}$$ (2) 对于每个 $\epsilon>0$ 那里存在 $\delta>0$ 这样如果 $x, x+h \in \bar{\Omega}$ 和 $|h|<\delta$ 然后 $$|f(x+h)-f(x)|<\epsilon \quad \text { for all } f \in \mathcal{F} .$$

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Averages 、left

$$\lim r \rightarrow 0^{+} f B_r(x) f d x=f(x)$$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。