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# 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|MS-C1350 Derivative estimates and analyticity

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## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Derivative estimates and analyticity

An important feature of Laplace equation is that we can estimate the derivatives of a solution in a ball in terms of the solution on a larger ball. This feature is closely connected with the smoothing properties of the Laplace equation.

TheOrem 2.7. Suppose that $u \in C^2(\Omega)$ is harmonic in the open set $\Omega$ and $B_r(x) \Subset \Omega$. Then for any $1 \leq i \leq n$,
$$\left|\partial_i u(x)\right| \leq \frac{n}{r} \max {\bar{B}_r(x)}|u| .$$ Proof. Since $u$ is smooth, differentiation of Laplace’s equation with respect to $x_i$ shows that $\partial_i u$ is harmonic, so by the mean value property for balls and the divergence theorem $$\partial_i u=\int{B_r(x)} \partial_i u d x=\frac{1}{\alpha_n r^n} \int_{\partial B_r(x)} u \nu_i d S$$
Taking the absolute value of this equation and using the estimate
$$\left|\int_{\partial B_r(x)} u \nu_i d S\right| \leq n \alpha_n r^{n-1} \max _{\bar{B}_r(x)}|u|$$
we get the result.

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Maximum principle

The maximum principle states that a non-constant harmonic function cannot attain a maximum (or minimum) at an interior point of its domain. This result implies that the values of a harmonic function in a bounded domain are bounded by its maximum and minimum values on the boundary. Such maximum principle estimates have many uses, but they are typically available only for scalar equations, not systems of PDEs.

TheOrem 2.13. Suppose that $\Omega$ is a connected open set and $u \in C^2(\Omega)$. If $u$ is subharmonic and attains a global maximum value in $\Omega$, then $u$ is constant in $\Omega$.
Proof. By assumption, $u$ is bounded from above and attains its maximum in
$\Omega$. Let
$$M=\max {\Omega} u,$$ and consider $$F=u^{-1}({M})={x \in \Omega: u(x)=M} .$$ Then $F$ is nonempty and relatively closed in $\Omega$ since $u$ is continuous. (A subset $F$ is relatively closed in $\Omega$ if $F=\tilde{F} \cap \Omega$ where $\tilde{F}$ is closed in $\mathbb{R}^n$.) If $x \in F$ and $B_r(x) \Subset \Omega$, then the mean value inequality $(2.5)$ for subharmonic functions implies that $$f{B_r(x)}[u(y)-u(x)] d y=\int_{B_r(x)} u(y) d y-u(x) \geq 0$$

# 偏微分方程代写

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Derivative estimates and analyticity

$$\left|\partial_i u(x)\right| \leq \frac{n}{r} \max \bar{B}r(x)|u| .$$ 证明。自从 $u$ 是光滑的，拉普拉斯方程关于 $x{\text {表明 }} \partial_i u$ 是调和的，所以根据球的均值特性和敖度定理
$$\partial_i u=\int B_r(x) \partial_i u d x=\frac{1}{\alpha_n r^n} \int_{\partial B_r(x)} u \nu_i d S$$

$$\left|\int_{\partial B_r(x)} u \nu_i d S\right| \leq n \alpha_n r^{n-1} \max {B_r(x)}|u|$$ 我们得到了结果。

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Maximum principle

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。