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# 数学代写|应用数学代考APPLIED MATHEMATICS代写|EPMATH110 Representation of quantities

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## 数学代写|应用数学代考APPLIED MATHEMATICS代写|Representation of quantities

We say that the quantity $q$ can be represented with respect to the vector of dimension symbols $\left(\mathbf{E}_1, \ldots, \mathbf{E}_m\right)$ if
$$[q]=\mathbf{E}_1^{\alpha_1} \cdots \mathbf{E}_m^{\alpha_m}$$
for some vector $\boldsymbol{\alpha}=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_m\right) \in \mathbb{R}^m$. The vector $\boldsymbol{\alpha}$ is often called dimension vector of $q$ with respect to $\left(\mathbf{E}_1, \ldots, \mathbf{E}_m\right)$

We note that there can be different representations of quantities. Let us consider the quantity $q$ measuring energy, i. e., $[q]=\mathbf{E}$. Consulting Table $2.2, q$ can be represented with respect to $(\mathbf{F}, \mathbf{L})$, since
$$[q]=\mathbf{E}=\mathbf{F} \cdot \mathbf{L} \quad \text { (force times length). }$$
The corresponding dimension vector is given by $\alpha=(1,1)$. Yet, at the same time $q$ can be represented with respect to $(\mathbf{m}, \mathbf{t}, \mathbf{L})$. Note that force can be derived by
$$\mathbf{F}=\mathbf{m} \cdot \mathbf{L} \cdot \mathbf{t}^{-2}$$
and we can therefore rewrite (2.4) as
$$[q]=\mathbf{E}=\mathbf{m} \cdot \mathbf{t}^{-2} \cdot \mathbf{L}^2 .$$
This time, the corresponding dimension vector is given by $\boldsymbol{\alpha}=(1,-2,2)$.

## 数学代写|应用数学代考APPLIED MATHEMATICS代写|Uniqueness of the dimension vector

Let $q$ be a quantity which can be represented with respect to the vector of dimension symbols $\left(\mathbf{E}_1, \ldots, \mathbf{E}_m\right)$. The dimension $\boldsymbol{\alpha}=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_m\right)$ vector is unique if and only if $\left(\mathbf{E}_1, \ldots, \mathbf{E}_m\right)$ is independent.

Definition 2.2.7: Dimension matrix
Let $\left(q_1, \ldots, q_n\right)$ be a vector of quantities which can be represented with respect to the vector of independent dimension symbols $\left(\mathbf{E}1, \ldots, \mathbf{E}_m\right)$. That is, there are unique dimension vectors such that $$\left[q_i\right]=\mathbf{E}_1^{\alpha{i, 1}} \cdots \mathbf{E}m^{\alpha{i, m}}$$
for $i=1, \ldots, n$. The matrix containing the dimensional vectors
$$A:=\left(\begin{array}{ccc} \alpha_{1,1} & \cdots & \alpha_{1, m} \ \vdots & & \vdots \ \alpha_{n, 1} & \cdots & \alpha_{n, m} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{n \times m}$$
is called the dimension matrix of $\left(q_1, \ldots, q_n\right)$ with respect to $\left(\mathbf{E}_1, \ldots, \mathbf{E}_m\right)$. The rank of $A$, $\operatorname{rank}(A)=$ maximal number of independent columns, is referred to as the dimension rank.

# 应用数学代考

## 数学代写|应用数学代考APPLIED MATHEMATICS代写|Representation of quantities

$$[q]=\mathbf{E}_1^{\alpha_1} \cdots \mathbf{E}_m^{\alpha_m}$$

$$[q]=\mathbf{E}=\mathbf{F} \cdot \mathbf{L} \quad \text { (force times length). }$$

$$\mathbf{F}=\mathbf{m} \cdot \mathbf{L} \cdot \mathbf{t}^{-2}$$

$$[q]=\mathbf{E}=\mathbf{m} \cdot \mathbf{t}^{-2} \cdot \mathbf{L}^2 .$$

## 数学代写|应用数学代考APPLIED MATHEMATICS代写|Uniqueness of the dimension vector

$$\left[q_i\right]=\mathbf{E}_1^{\alpha i, 1} \cdots \mathbf{E} m^{\alpha i, m}$$

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