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数学代写|应用数学代考APPLIED MATHEMATICS代写|KMA002 Pitfalls of Regular Perturbation

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数学代写|应用数学代考APPLIED MATHEMATICS代写|Pitfalls of Regular Perturbation

At the end of the last chapter we already observed problems for the regular perturbation method when secular terms arise in the perturbation approximation. In what follows, we demonstrate some more pitfalls of regular perturbation. By doing so we hope to sharpen our understanding of when we can the expect regular perturbation method to succeed and – most notably- when we cannot.
Example $4.2 .1$
$$\varepsilon x^2+2 x+1=0$$
with $0<\varepsilon \ll 1$. Of course, it is not hard to solve this equation exactly and its solutions are given by
$$x_{1,2}=-\frac{1}{\varepsilon} \pm \sqrt{\frac{1}{\varepsilon^2}-\frac{1}{\varepsilon}}=\frac{1}{\varepsilon}(-1 \pm \sqrt{1-\varepsilon}) .$$
Note that
$$\lim {\varepsilon \rightarrow 0} x_1=-\frac{1}{2}, \quad \lim {\varepsilon \rightarrow 0} x_2=-\infty .$$
Yet, our goal is to illustrate the failure of the regular perturbation method for this example. If we attempt regular perturbation by substituting the perturbation series
$$p_{\varepsilon}=x_0+\varepsilon x_1+\varepsilon^2 x_2+\ldots$$
into the perturbed problem (4.8), we get, after comparing the coefficients of the different orders of $\varepsilon$, the following sequence of equations:
\begin{aligned} 2 x_0+1 &=0, \ x_0^2+2 x_1 &=0, \ 2 x_1 x_0+2 x_2 &=0, \quad \ldots \end{aligned}

数学代写|应用数学代考APPLIED MATHEMATICS代写|Asymptotic Expansion of Integrals

Many physical quantities can be described by integrals. In particular, the solution of differential equations often yield formulas involving integrals. Unfortunately, in many cases, these integrals cannot be evaluated in closed form. For example, the initial value problem
$$y^{\prime \prime}+2 \lambda+y^{\prime}=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1,$$
has the solution
$$y_\lambda(t)=\int_0^t e^{-\lambda s^2} \mathrm{~d} s .$$
Yet, the solution cannot be calculated, because there is no antiderivative in terms of simple functions, for the integral on the right hand side. For some problems, however, we may want to at least know the behavior for fixed $\lambda$ and large $t$ or, conversely, for fixed $t$ and large $\lambda$. Problems like this are common in applied mathematics and in this chapter we will address some standard techniques to solve them for certain types of integrals.

应用数学代考

数学代写|应用数学代考APPLIED MATHEMATICS代写|Pitfalls of Regular

Perturbation 过这样做，我们㣇望加深我们对何时可以预期常规扰动方法成功以及 – 最值得注意的是 – 何时不能成功的理解。

$$\varepsilon x^2+2 x+1=0$$

$$x_{1,2}=-\frac{1}{\varepsilon} \pm \sqrt{\frac{1}{\varepsilon^2}-\frac{1}{\varepsilon}}=\frac{1}{\varepsilon}(-1 \pm \sqrt{1-\varepsilon}) .$$

$$\lim \varepsilon \rightarrow 0 x_1=-\frac{1}{2}, \quad \lim \varepsilon \rightarrow 0 x_2=-\infty .$$

$$p_{\varepsilon}=x_0+\varepsilon x_1+\varepsilon^2 x_2+\ldots$$

$$2 x_0+1=0, x_0^2+2 x_1 \quad=0,2 x_1 x_0+2 x_2=0, \quad \ldots$$

数学代写|应用数学代考APPLIED MATHEMATICS代写|Asymptotic Expansion of Integrals

$$y^{\prime \prime}+2 \lambda+y^{\prime}=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1,$$

$$y_\lambda(t)=\int_0^t e^{-\lambda s^2} \mathrm{~d} s .$$

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MATLAB代写

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