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# 计算机代写|数据分析信号处理和机器学习中的矩阵方法代写Matrix Methods In Data Analysis, Signal Processing, And Machine Learning代考|MS-E1150 Directional Derivative

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## 计算机代写|数据分析信号处理和机器学习中的矩阵方法代写Matrix Methods In Data Analysis, Signal Processing, And Machine Learning代考|Directional Derivative

Directional Derivative

Directional derivative in direction $u$ (a unit vector) is the slope of function $f$ in direction $u$

This evaluates to
$$u^T \nabla_x f(x)$$

Example: let $u^T=\left(u_x, u_y, u_z\right)$ be a unit vector in Cartesian coordinates, so then
$$|u|_2=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}=1$$
$$u^T \nabla_x f(x)=\frac{\partial f}{\partial x} u_x+\frac{\partial f}{\partial y} u_y+\frac{\partial f}{\partial z} u_z$$

Directional Derivative

To minimize $f$ find direction in which $f$ decreases the fastest
$$\min {u, u^T u=1} u^T \nabla_x f(x)=\min {u, u^T u=1}|u|_2 \cdot\left|\nabla_x f(x)\right|_2 \cdot \cos \theta$$

where $\theta$ is angle between $u$ and the gradient

Substitute $|u|_2=1$ and ignore factors that not depend on $u$ this simplifies to
$$\min _u \cos \theta$$

This is minimized when $u$ points in direction opposite to gradient

In other words, the gradient points directly uphill, and the negative gradient points directly downhill

## 计算机代写|数据分析信号处理和机器学习中的矩阵方法代写Matrix Methods In Data Analysis, Signal Processing, And Machine Learning代考|Method of Gradient Descent

Method of Gradient Descent

The gradient points directly uphill, and the negative gradient points directly downhill

Thus we can decrease $f$ by moving in the direction of the negative gradient

This is known as the method of steepest descent or gradient descent

Steepest descent proposes a new point
$$x^{\prime}=x-\epsilon \nabla_x f(x)$$

where $\epsilon$ is the learning rate, a positive scalar. Set to a small constant.

Choosing $\epsilon$ : Line Search

We can choose $\epsilon$ in several different ways

Popular approach: set $\epsilon$ to a small constant

Another approach is called line search:

Evaluate
$$f\left(x-\epsilon \nabla_x f(x)\right)$$
for several values of $\epsilon$ and choose the one that results in smallest objective function value

## 计算机代写数据分析信号处理和机器学习中的矩阵方法代写Matrix Methods In Data Analysis, Signal Processing, And Machine Learning代考|Directional Derivative

$$u^T \nabla_x f(x)$$

$$\begin{gathered} |u|_2=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}=1 \ u^T \nabla_x f(x)=\frac{\partial f}{\partial x} u_x+\frac{\partial f}{\partial y} u_y+\frac{\partial f}{\partial z} u_z \end{gathered}$$

$$\min u, u^T u=1 u^T \nabla_x f(x)=\min u, u^T u=1|u|_2 \cdot\left|\nabla_x f(x)\right|_2 \cdot \cos \theta$$

$$\min _u \cos \theta$$

## 计算机代写数据分析信号处理和机器学习中的矩阵方法代写Matrix Methods In Data Analysis, Signal Processing, And Machine Learning代考|Method of Gradient Descent

$$x^{\prime}=x-\epsilon \nabla_x f(x)$$

$$f\left(x-\epsilon \nabla_x f(x)\right)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。