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# 数学代写|代數數論代写Algebraic Number Theory代考|MATH223 Geometry of Numbers

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## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Geometry of Numbers

In this section, let $L / K$ be a finite separable extension such that the residue extension $k_L / k$ is also separable. Denote by $\pi_L$ (resp. $\pi_K$ ) a uniformizer of $L$ (resp. of $K$ ).
9.3.1. Norms of fractional ideals. – Note that both $\mathcal{O}L$ and $\mathcal{O}_K$ are Dedekind domains. We have the notion of fractional ideals on $L$ or on $K$. If $\mathfrak{a}$ is a fractional ideal of $L$, we define $$v_L(\mathfrak{a})=\min {x \in \mathfrak{a}}\left{v_L(x)\right} \in \mathbb{Z},$$
and call it the valuation of $\mathfrak{a}$. Then it is clear that $\mathfrak{a}=\left(\pi_L^{v_L(\mathfrak{a})}\right)$ We define the norm of $\mathfrak{a}$ as the fractional ideal of $K$ given by
$$\mathrm{N}{L / K}(\mathfrak{a}):=\left(\mathrm{N}{L / K}\left(\pi_L\right)\right)^{v_L(\mathfrak{a})} .$$
Lemma 9.3.2. – We have $v_K\left(\mathrm{~N}_{L / K}(\mathfrak{a})\right)=f(L \mid K) v_L(\mathfrak{a})$.

Proof. – It suffices to show that $v_K\left(\pi_L\right)=f(L \mid K)$. Let $L_0 / K$ denote the maximal unramified extension of $L / K$. Then $\mathrm{N}{L / K}\left(\pi_L\right)=\mathrm{N}{L_0 / K}\left(\mathrm{~N}{L / L_0}\left(\pi_L\right)\right)$. Since $L / L_0$ is totally ramified, we see that $\mathrm{N}{L / L_0}\left(\pi_L\right)$ is a uniformizer of $L_0$. Thus it suffices to show that for any uniformizer $\pi_{L_0}$ of $L_0$, we have
$$v_K\left(\mathrm{~N}{L_0 / K}\left(\pi{L_0}\right)\right)=f(L \mid K) .$$
As $L_0 / K$ is unramified, one has $\pi_{L_0}=\pi_K u$ for some unit $u \in \mathcal{O}{L_0}^{\times}$. Thus, we get $$v_K\left(\mathrm{~N}{L_0 / K}\left(\pi_{L_0}\right)\right)=v\left(\mathrm{~N}_{L_0 / K}\left(\pi_K\right)\right)=f\left(L_0 \mid K\right)=f(L \mid K) .$$

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Different and discriminant

Different and discriminant. – The theory of different and discriminant for number fields has an analog for $L / K$. Recall that the bilinear form $\operatorname{Tr}{L / K}(x y)$ on $L$ is non-degenerate by Theorem $1.2 .4$. We put $$\mathcal{O}_L^:=\left{x \in L: \operatorname{Tr}{L / K}(x y) \in \mathcal{O}K, \forall y \in \mathcal{O}_L\right} .$$ Then $\mathcal{O}_L^$ is a fractional ideal of $L$. It is clear that $\mathcal{O}_L \subseteq \mathcal{O}_L^$. We define the different of $L / K$ (or of $\mathcal{O}_L / \mathcal{O}_K$ ) as the ideal in $\mathcal{O}_L$ (9.3.3.1) $\quad \delta{L / K}:=\left(\mathcal{O}L^\right)^{-1}$.
and the discriminant of $L / K$ (or of $\mathcal{O}_L / \mathcal{O}_K$ ) as the ideal in $\mathcal{O}_K$
$$\mathfrak{d}{L / K}:=\mathrm{N}{L / K}\left(\delta{L / K}\right) \text {. }$$
Similar properties as in Section $3.3$ hold in our case. In particular, we have
Proposition 9.3.4. – Let $K^{\prime} / K$ be a sub-extension of $L / K$. Then we have
and
$$\delta_{L / K}=\left(\delta_{K^{\prime} / K} \mathcal{O}L\right) \cdot \delta{L / K^{\prime}},$$
$$\mathfrak{d}{L / K}=\mathrm{N}{K^{\prime} / K}\left(\mathfrak{d}{L / K^{\prime}}\right) \mathfrak{d}{K^{\prime} / K}^{\left[L: K^{\prime}\right]} .$$
Proof. – The proof is exactly the same as Proposition 3.3.5 and Corollary 3.3.6.
Applying this Proposition with $K^{\prime}$ equal to the maximal unramified sub-extension of $L / K$, we reduce the problem of computing $\delta_{L / K}$ to the case of $L_0 / K$ and $L / L_0$, i.e. it suffices to treat separately the unramified case and the totally ramified case.

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Geometry of Numbers

9.3.1. 分数理想的规范。 – 注意两者 $\mathcal{O} L$ 和 $\mathcal{O}K$ 是 Dedekind 域。我们有分数理想的概念 $L$ 或在 $K$. 如果 $a$ 是一个分数理想 $L$, 我们定 义 〈left 缺少或无法识别的分隔符 并称之为估值 $\mathfrak{a}$. 那么很明显 $\mathfrak{a}=\left(\pi_L^{v L(\mathfrak{a})}\right)$ 我们定义范数 $\mathfrak{a}$ 作为分数理想 $K$ 由 $$\mathrm{N} L / K(\mathfrak{a}):=\left(\mathrm{N} L / K\left(\pi_L\right)\right)^{v_L(\mathfrak{a})} .$$ 引理 9.3.2。 – 我们有 $v_K\left(\mathrm{~N}{L / K}(\mathfrak{a})\right)=f(L \mid K) v_L(\mathfrak{a})$.

$$v_K\left(\mathrm{~N} L_0 / K\left(\pi L_0\right)\right)=f(L \mid K) .$$

$$v_K\left(\mathrm{~N} L_0 / K\left(\pi_{L_0}\right)\right)=v\left(\mathrm{~N}{L_0 / K}\left(\pi_K\right)\right)=f\left(L_0 \mid K\right)=f(L \mid K) .$$ discriminant 不同的和歧视的。 – 数域的不同和判别理论有一个模拟 $L / K$. 回想一下双线性形式 $\operatorname{Tr} L / K(x y)$ 上 $L$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。