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# 数学代写|运筹学代写Operations Research代考|IMSE560 SOLVING ZERO-ONE PROBLEMS—IMPLICIT ENUMERATION

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## 数学代写|运筹学代写Operations Research代考|SOLVING ZERO-ONE PROBLEMS—IMPLICIT ENUMERATION

We solve zero-one problems using the method of implicit enumeration (Balas, 1965). Let us illustrate the concepts behind implicit enumeration using an example.
ILLUSTRATION $7.10$
Minimize $Z=5 X_1+6 X_2+10 X_3+7 X_4+19 X_5$
Subject to
$$\begin{gathered} 5 X_1+X_2+3 X_3-4 X_4+3 X_5 \geq 2 \ -2 X_1+5 X_2-2 X_3-3 X_4+4 X_5 \geq 0 \ X_1-2 X_2-5 X_3+3 X_4+4 X_5 \geq 2 \ X_j=0,1 \end{gathered}$$
There are five decision variables and each is a binary variable. There are 32 possible solutions. These can be represented in the form of a vector (binary number) as follows. For example, the binary number [01011] represents the solution $X_1=0, X_2=1, X_3=0, X_4=1$ and $X_5=1$. (From the left, the values could represent variables $X_1, X_2, \ldots, X_5$. The value of the objective function for this solution is $Z=6+7+9=22$.

We define the standard problem to have a minimization objective function with non-negative objective function coefficients. The constraints are all of the $\geq$ type. Later we will explain how to convert every problem to the standard form.

We explain the additive algorithm by considering Illustration 7.10, which is given below:
Minimize $Z=5 X_1+6 X_2+10 X_3+7 X_4+19 X_5$
Subject to
$$\begin{gathered} 5 X_1+X_2+3 X_3-4 X_4+3 X_5 \geq 2 \ -2 X_1+5 X_2-2 X_3-3 X_4+4 X_5 \geq 0 \ X_1-2 X_2-5 X_3+3 X_4+4 X_5 \geq 2 \ X_j=0,1 \end{gathered}$$
We define a helpfulness index for each variable as the sum of the coefficients in the constraints. These are:
\begin{aligned} &\text { Variable } X_1=5-2+1=4 \ &\text { Variable } X_2=1+5-2=4 \ &\text { Variable } X_3=3-2-5=-4 \ &\text { Variable } X_4=-4-3+3=-4 \ &\text { Variable } X_5=3+4+4=10 \end{aligned}
We define three vectors $\boldsymbol{S}, \boldsymbol{V}$ and $\boldsymbol{H}$, where $\boldsymbol{S}$ is a vector of variables in the solution, $\boldsymbol{V}$ is the set of violated constraints and $\boldsymbol{H}$ is the set of helpful variables.
Step 0
$S_0={}$ (No variable is fixed to any value)
$V_0={1,3}$-Constraints 1 and 3 are violated. Constraint 2 is satisfied as LHS $=0$.
$T_0={1,2,3,4,5}$-Variables $X_1$ to $X_3$ and $X_5$ are helpful with respect to constraint 1 and variables $X_1, X_4$ and $X_5$ are helpful with respect to constraint 3 .

We identify the most helpful variable (variable $X_5$ has the highest helpfulness index) and fix it to 1 .
Step 1
$S_1={5}$-Variable $X_5$ is fixed at 1 .
$V_1={}$-All constraints are satisfied and we have a feasible solution.
We update the feasible solution as $X_5=1, Z=19$. When we have a feasible solution we backtrack.

## 数学代写|运筹学代写Operations Research代考|SOLVING ZERO-ONE PROBLEMS-IMPLICIT ENUMERATION

$$5 X_1+X_2+3 X_3-4 X_4+3 X_5 \geq 2-2 X_1+5 X_2-2 X_3-3 X_4+4 X_5 \geq 0 X_1-2 X_2-5 X_3+3 X_4+4 X_5 \geq 2 X_j=0,1$$

$$: Z=5 X_1+6 X_2+10 X_3+7 X_4+19 X_5$$

$$5 X_1+X_2+3 X_3-4 X_4+3 X_5 \geq 2-2 X_1+5 X_2-2 X_3-3 X_4+4 X_5 \geq 0 X_1-2 X_2-5 X_3+3 X_4+4 X_5 \geq 2 X_j=0,1$$

Variable $X_1=5-2+1=4 \quad$ Variable $X_2=1+5-2=4$ Variable $X_3=3-2-5=-4 \quad$ Variable $X_4=-4-3+3=-4$ Variable $X_5=$

$S_0=$ (没有变量固定为任何值)
$V_0=1,3-$ 违反约束 1 和 3 。约束 2 作为 $L H S$ 得到满足 $=0$.
$T_0=1,2,3,4,5$-变量 $X_1$ 至 $X_3$ 和 $X_5$ 对约束 1 和变量有帮助 $X_1, X_4$ 和 $X_5$ 对约束 3 有帮助。

$S_1=5$-多变的 $X_5$ 固定为 1 。
$V_1=$-满足所有约束，我们有一个可行的解决方宲。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。