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# 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|MS-C1350 Nonhomogeneous Boundary Conditions

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## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Nonhomogeneous Boundary Conditions

The problem to be considered in this section is
$$\mathcal{L} u=f(x), \quad 0<x<1,$$
subject to the nonhomogeneous boundary conditions
\begin{aligned} &u(0)=A, \ &u(1)=B . \end{aligned}
The Green’s function $G(x ; s)$ satisfies
$$\begin{gathered} \mathcal{L} G=\delta(x-s), \ G(0 ; s)=0, \ G(1 ; s)=0, \end{gathered}$$
since Green’s function always satisfies homogeneous boundary conditions. Now we utilize Green’s formula
$$\int_0^1(u \mathcal{L} G-G \mathcal{L} u) d x=\left.u \frac{d G(x ; s)}{d x}\right|0 ^1-\left.G(x ; s) \frac{d u}{d x}\right|_0 ^1 .$$ The right hand side will have contribution from the first term only, since $u$ doesn’t vanish on the boundary. Thus $$u(s)=\int_0^1 G(x ; s) \underbrace{f(x)}{\mathcal{L} u} d x+\left.B \frac{d G(x ; s)}{d x}\right|{x=1}-\left.A \frac{d G(x ; s)}{d x}\right|{x=0} .$$

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Fredholm Alternative And Modified Green’s Functions

Theorem (Fredholm alternative)
For nonhomogeneous problems
$$\mathcal{L} y=f,$$
subject to homogeneous boundary conditions (10.3.2)-(10.3.3) either of the following holds 1. $y=0$ is the only homogeneous solution (that is $\lambda=0$ is not an eigenvalue), in which case the nonhomogeneous problem has a unique solution.

1. There are nontrivial homogeneous solutions $\phi_n(x)$ (i.e. $\lambda=0$ is an eigenvalue), in which case the nonhomogeneous problem has no solution or an infinite number of solutions.
Remarks:
2. This theorem is well known from Linear Algebra concerning the solution of systems of linear algebraic equations.
3. In order to have infinite number of solutions, the forcing term $f(x)$ must be orthogonal to all solutions of the homogeneous.
4. This result can be generalized to higher dimensions.

# 偏微分方程代写

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Nonhomogeneous Boundary Conditions

$$\mathcal{L} u=f(x), \quad 0<x<1,$$

$$u(0)=A, \quad u(1)=B .$$

$$\mathcal{L} G=\delta(x-s), G(0 ; s)=0, G(1 ; s)=0,$$

$$\int_0^1(u \mathcal{L} G-G \mathcal{L} u) d x=u \frac{d G(x ; s)}{d x}\left|0^1-G(x ; s) \frac{d u}{d x}\right|_0^1 .$$

$$u(s)=\int_0^1 G(x ; s) \underbrace{f(x)} \mathcal{L} u d x+B \frac{d G(x ; s)}{d x}\left|x=1-A \frac{d G(x ; s)}{d x}\right| x=0 .$$

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Fredholm Alternative And Modified Green’s Functions

$$\mathcal{L} y=f$$

1. 存在非平凡齐次解 $\phi_n(x)$ （IE $\lambda=0$ 是一个特征值），在这种情况下，非齐次问题没有解或有无限多个解。 评论:
2. 这个定理在线性代数中广为人知，涉及线性代数方程组的解。
3. 为了有无限多的解决方客，强制项 $f(x)$ 必须与斉次的所有解正交。
4. 这个结果可以推广到更高的维度。。

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## MATLAB代写

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