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# 金融代写|投资组合代写Investment Portfolio代考|FIN133 The expected return and risk of a portfolio of assets

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## 金融代写|投资组合代写Portfolio Theory代考|The expected return and risk of a portfolio of assets

Suppose we have a portfolio with $n$ assets, the $i^{t h}$ of which delivers a return $R_{t, i}$ at time $t$. This return has a mean $\mu_{t, i}$ and a variance $\sigma_{t, i}^2$. Suppose the proportion of the value of the portfolio that asset $i$ makes up is $w_i\left(\right.$ so $\sum_{i=1}^n w_i=1$ ).

What is the mean and standard deviation of the return $R$ of the portfolio? All known values are assumed to be known at time $t$, and the $t$ will be implicit in what follows. We can suppress the subscript $t$ as long as we understand that all of the parameters are dynamic and we need to refresh the estimates on a daily basis.
$$\mu:=\mathbb{E}[R]=\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^n w_i R_i\right]=\sum_{i=1}^n w_i \mathbb{E}\left[R_i\right]=\sum_{i=1}^n w_i \mu_i$$
and
ance matrix. So, the return on the portfolio has
\begin{aligned} & \mathbb{E}[R]=w^{\prime} \mu \ & \sigma(R)=\sqrt{w^{\prime} \Sigma w} \end{aligned}

## 金融代写|投资组合代写Portfolio Theory代考|The benefits of diversification

Let us consider some special cases. Suppose the assets are all independent, in particular, they are uncorrelated, so $\rho_{i j}=\delta_{i j}$. ( $\delta_{i j}$ is the indicator function.) Then $\sigma^2(R)=\sum_{i=1}^n w_i^2 \sigma_i^2$. Suppose further that the portfolio is equally weighted, so $w_i=\frac{1}{n}$ for every $i$. Then
$$\sigma^2(R)=\sum_{i=1}^n \frac{1}{n^2} \sigma_i^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{\sigma_i^2}{n} \longrightarrow 0$$
as $n \longrightarrow \infty$. If we accept that variance is a measure of risk, then the risk goes to 0 as we obtain more and more assets.

Suppose now that the portfolio is equally weighted, but that the assets are not necessarily uncorrelated. Then
\begin{aligned} \sigma^2(R) & =\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{1}{n^2} \sigma_{i j} \ & =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{\sigma_i^2}{n}+\frac{n-1}{n} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1, j \neq i}^n \frac{\sigma_{i j}}{n(n-1)} \ & =\frac{1}{n} \overline{\sigma_i^2}+\frac{n-1}{n} \overline{\sigma_{i j, i \neq j}} \ & \longrightarrow \frac{\sigma_{i j, i \neq j}}{\longrightarrow} \text { as } \longrightarrow \infty \end{aligned}
The limit is the average covariance, which is a measure of the undiversifiable market risk.

## 金融代写|投资组合代写Portfolio Theory代考|The expected return and risk of a portfolio of assets

$$\mu:=\mathbb{E}[R]=\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^n w_i R_i\right]=\sum_{i=1}^n w_i \mathbb{E}\left[R_i\right]=\sum_{i=1}^n w_i \mu_i$$

$$\mathbb{E}[R]=w^{\prime} \mu \quad \sigma(R)=\sqrt{w^{\prime} \Sigma w}$$

## 金融代写|投资组合代写Portfolio Theory代考|The benefits of diversification

$$\sigma^2(R)=\sum_{i=1}^n \frac{1}{n^2} \sigma_i^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{\sigma_i^2}{n} \longrightarrow 0$$

$$\sigma^2(R)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{1}{n^2} \sigma_{i j} \quad=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{\sigma_i^2}{n}+\frac{n-1}{n} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1, j \neq i}^n \frac{\sigma_{i j}}{n(n-1)}=\frac{1}{n} \overline{\sigma_i^2}+\frac{n-1}{n} \overline{\sigma_{i j, i \neq j}} \quad \longrightarrow \frac{\sigma_{i j, i \neq j}}{\longrightarrow} \text { as } \longrightarrow \infty$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。