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数学代写|随机图论代考Random Graph Theory代写|Extreme Characteristics
In this section we will first discuss the threshold for $\mathbb{G}{n, p}$ to have diameter $d$, when $d \geq 2$ is a constant. The diameter of a connected graph $G$ is the maximum over distinct vertices $v, w$ of $\operatorname{dist}(v, w)$ where $\operatorname{dist}(v, w)$ is the minimum number of edges in a path from $v$ to $w$. The theorem below was proved independently by Burtin [172], [173] and by Bollobás [129]. The proof we give is due to Spencer [721]. Theorem 7.1. Let $d \geq 2$ be a fixed positive integer. Suppose that $c>0$ and $$ p^d n^{d-1}=\log \left(n^2 / c\right) . $$ Then $$ \lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(\operatorname{diam}\left(\mathbb{G}_{n, p}\right)=k\right)= \begin{cases}e^{-c / 2} & \text { if } k=d \ 1-e^{-c / 2} & \text { if } k=d+1 .\end{cases}
$$
Proof. (a): w.h.p. $\operatorname{diam}(G) \geq d$.
Fix $v \in V$ and let
$$
N_k(v)={w: \operatorname{dist}(v, w)=k} .
$$
It follows from Theorem $3.4$ that w.h.p. for $0 \leq k<d$,
$$
\left|N_k(v)\right| \leq \Delta^k \approx(n p)^k \approx(n \log n)^{k / d}=o(n) .
$$
(b) w.h.p. $\operatorname{diam}(G) \leq d+1$
Fix $v, w \in[n]$. Then for $1 \leq k<d$, define the event
$$
\mathscr{F}k=\left{\left|N_k(v)\right| \in I_k=\left[\left(\frac{n p}{2}\right)^k,(2 n p)^k\right]\right} . $$ Then for $k \leq\lceil d / 2\rceil$ we have $$ \begin{aligned} & \mathbb{P}\left(\neg \mathscr{F}_k \mid \mathscr{F}_1, \ldots, \mathscr{F}{k-1}\right)= \
& =\mathbb{P}\left(\operatorname{Bin}\left(n-\sum_{i=0}^{k-1}\left|N_i(v)\right|, 1-(1-p)^{\left|N_{k-1}(v)\right|}\right) \notin I_k\right) \
& \leq \mathbb{P}\left(\operatorname{Bin}\left(n-o(n), \frac{3}{4}\left(\frac{n p}{2}\right)^{k-1} p\right) \leq\left(\frac{n p}{2}\right)^k\right) \
& \leq \quad, \quad+\mathbb{P}\left(\operatorname{Bin}\left(n-o(n), \frac{5}{4}(2 n p)^{k-1} p\right) \geq(2 n p)^k\right) \
& \leq \exp \left{-\Omega\left((n p)^k\right)\right} \
& =O\left(n^{-3}\right) .
\end{aligned}
$$
So with probability $1-O\left(n^{-3}\right)$,
$$
\left|N_{\lfloor d / 2\rfloor}(v)\right| \geq\left(\frac{n p}{2}\right)^{\lfloor d / 2\rfloor} \text { and }\left|N_{\lceil d / 2\rceil}(w)\right| \geq\left(\frac{n p}{2}\right)^{\lceil d / 2\rceil}
$$
数学代写|随机图论代考Random Graph Theory代写|Largest Independent Sets
Let $\alpha(G)$ denote the size of the largest independent set in a graph $G$.
Dense case
The following theorem was first proved by Matula [578].
Theorem 7.3. Suppose $0<p<1$ is a constant and $b=\frac{1}{1-p}$. Then w.h.p.
$$
\alpha\left(\mathbb{G}_{n, p}\right) \approx 2 \log _b n .
$$
Proof. Let $X_k$ be the number of independent sets of order $k$.
(i) Let
$$
k=\left\lceil 2 \log _b n\right\rceil
$$
Then,
$$
\begin{aligned}
\mathbb{E} X_k & =\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right)(1-p)^{\left(\begin{array}{l}
k \
2
\end{array}\right)} \
& \leq\left(\frac{n e}{k(1-p)^{1 / 2}}(1-p)^{k / 2}\right)^k \
& \leq\left(\frac{e}{k(1-p)^{1 / 2}}\right)^k \
& =o(1) .
\end{aligned}
$$
(ii) Let now
$$
k=\left\lfloor 2 \log _b n-5 \log _b \log n\right\rfloor .
$$
Let
$$
\bar{\Delta}=\sum_{\substack{i, j \ S_i \sim S_j}} \mathbb{P}\left(S_i, S_j \text { are independent in } \mathbb{G}{n, p}\right), $$ where $S_1, S_2, \ldots, S{\left(\begin{array}{l}n \ k\end{array}\right.}$ are all the $k$-subsets of $[n]$ and $S_i \sim S_j$ iff $\left|S_i \cap S_j\right| \geq 2$. By Janson’s inequality, see Theorem 23.13,
$$
\mathbb{P}\left(X_k=0\right) \leq \exp \left{-\frac{\left(\mathbb{E} X_k\right)^2}{2 \bar{\Delta}}\right} .
$$
Here we apply the inequality in the context of $X_k$ being the number of $k$-cliques in the complement of $G_{n, p}$. The set $[N]$ will be the edges of the complete graph and the sets $D_i$ will the edges of the $k$-cliques. Now
$$
\begin{aligned}
& =\sum_{j=2}^k \frac{\left(\begin{array}{l}
n-k \
k-j
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
k \
j
\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right)}(1-p)^{-\left(\begin{array}{l}
j \
2
\end{array}\right)} \
& =\sum_{j=2}^k u_j \
&
\end{aligned}
$$
随机图论代写
数学代写|随机图论代考Random Graph Theory代写|Extreme Characteristics
在本节中，我们将苜先讨论㖪值 $\mathbb{G} n, p$ 有直径 $d$ ，什么时候 $d \geq 2$ 是一个常数。连通图的直径 $G$ 是不同顶点上的最大值 $v, w$ 的 $\operatorname{dist}(v, w)$ 在哪里dist $(v, w)$ 是一条路径中的最小边数 $v$ 至 $w$. 下面的定理由 Burtin [172]、 [173] 和 Bollobás [129] 独立证明。 我们给出的证明归功于 Spencer [721]。定理 7.1。让 $d \geq 2$ 是一个固定的正整数。假设 $c>0$ 和
$$
p^d n^{d-1}=\log \left(n^2 / c\right)
$$
然后
$$
\lim n \rightarrow \infty \mathbb{P}\left(\operatorname{diam}\left(\mathbb{G}{n, p}\right)=k\right)=\left{e^{-c / 2} \quad \text { if } k=d 1-e^{-c / 2} \quad \text { if } k=d+1\right. $$ 证明。(a): whpdiam $(G) \geq d$. 使固定 $v \in V$ 然后让 $$ N_k(v)=w: \operatorname{dist}(v, w)=k . $$ 它逼循定理 $3.4$ 那鞭子为 $0 \leq k{\lfloor d / 2]}(v)\right| \geq\left(\frac{n p}{2}\right)^{\lfloor d / 2\rfloor} \text { and }\left|N_{[d / 2\rceil}(w)\right| \geq\left(\frac{n p}{2}\right)^{\lceil d / 2]}
$$
数学代写|随机图论代考Random Graph Theory代写|Largest Independent Sets
让 $\alpha(G)$ 表示图中最大独立集的大小 $G$.
稠密情况
以下定理首先由 Matula [578] 证明。
定理 7.3。认为 $0<p<1$ 是営数并且 $b=\frac{1}{1-p}$. 然后鞭打
$$
\alpha\left(\mathbb{G}{n, p}\right) \approx 2 \log _b n . $$ 证明。让 $X_k$ 是独立顺序集的数量 $k$. (我让 $$ k=\left\lceil 2 \log _b n\right\rceil $$ 然后， $$ \mathbb{E} X_k=(n k)(1-p)^{(k 2)} \quad \leq\left(\frac{n e}{k(1-p)^{1 / 2}}(1-p)^{k / 2}\right)^k \leq\left(\frac{e}{k(1-p)^{1 / 2}}\right)^k \quad=o(1) . $$ (ii) 让现在 $$ k=\left\lfloor 2 \log _b n-5 \log _b \log n\right\rfloor . $$ 让 $$ \bar{\Delta}=\sum{i, j} \sum_{S_i \sim S_j} \mathbb{P}\left(S_i, S_j \text { are independent in } \mathbb{G} n, p\right),
$$
在哪里 $S_1, S_2, \ldots, S\left(n k\right.$ 都是 $k$-子集的 $[n]$ 和 $S_i \sim S_j$ 当且仅当 $\left|S_i \cap S_j\right| \geq 2$. 根据詹森不等式，参见定理 23.13，
〈left 缺少或无法识别的分隔符
在这里，我们在以下情况下应用不等式 $X_k$ 是的数量 $k$ – 集团补充 $G_{n, p}$. 芸装 $[N]$ 将是完整图和集合的边 $D_i$ 将边豚的 $k$-派系。现在
$$
=\sum_{j=2}^k \frac{(n-k k-j)(k j)}{(n k)}(1-p)^{-(j 2)} \quad=\sum_{j=2}^k u_j
$$
数学代写|随机图论代考Random Graph Theory代写 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。
微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。