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随机图论Random Graph Theory从数学角度看，随机图被用来回答有关典型图的属性问题。它的实际应用在所有需要对复杂网络进行建模的领域都可以找到–许多随机图模型因此而闻名，反映了不同领域中遇到的复杂网络的不同类型。在数学方面，随机图几乎只指Erdős-Rényi随机图模型。在其他背景下，任何图形模型都可以被称为随机图。
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数学代写|随机图论代考Random Graph Theory代写|Perfect Matchings
Before we move to the problem of the existence of a perfect matching, i.e., a collection of independent edges covering all of the vertices of a graph, in our main object of study, the random graph $\mathbb{G}{n, p}$, we will analyse the same problem in a random bipartite graph. This problem is much simpler than the respective one for $\mathbb{G}{n, p}$, but provides a general approach to finding a perfect matching in a random graph.
Bipartite Graphs
Let $\mathbb{G}{n, n, p}$ be the random bipartite graph with vertex bi-partition $V=(A, B), A=$ $[1, n], B=[n+1,2 n]$ in which each of the $n^2$ possible edges appears independently with probability $p$. The following theorem was first proved by Erdôs and Rényi [290] Theorem 6.1. Let $\omega=\omega(n), c>0$ be a constant, and $p=\frac{\log n+\omega}{n}$. Then $$ \lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(\mathbb{G}{n, n, p} \text { has a perfect matching }\right)= \begin{cases}0 & \text { if } \omega \rightarrow-\infty \ e^{-2 e^{-c}} & \text { if } \omega \rightarrow c \ 1 & \text { if } \omega \rightarrow \infty .\end{cases} $$ Moreover, $$ \lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(\mathbb{G}{n, n, p} \text { has a perfect matching }\right)=\lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(\delta\left(\mathbb{G}_{n, n, p}\right) \geq 1\right) .
$$
Proof. We will use Hall’s condition for the existence of a perfect matching in a bipartite graph. It states that a bipartite graph contains a perfect matching if and only if the following condition is satisfied:
$$
\forall S \subseteq A,|N(S)| \geq|S|,
$$
where for a set of vertices $S, N(S)$ denotes the set of neighbors of $S$. It is convenient to replace (6.1) by
$$
\begin{aligned}
\forall S \subseteq A,|S| \leq \frac{n}{2}, \quad|N(S)| \geq|S| \
\forall T \subseteq B,|T| \leq \frac{n}{2}, \quad|N(T)| \geq|T|
\end{aligned}
$$
数学代写|随机图论代考Random Graph Theory代写|Non-Bipartite Graphs
We now consider $\mathbb{G}{n, p}$. We could try to replace Hall’s theorem by Tutte’s theorem. A proof along these lines was given by Erdôs and Rényi [291]. We can however get away with a simpler approach based on simple expansion properties of $\mathbb{G}{n, p}$. The proof here can be traced back to Bollobás and Frieze [147].
Theorem 6.2. Let $\omega=\omega(n), c>0$ be a constant, and let $p=\frac{\log n+c_n}{n}$. Then
$$
\lim {\substack{n \rightarrow \infty \ n \text { even }}} \mathbb{P}\left(\mathbb{G}{n, p} \text { has a perfect matching }\right)= \begin{cases}0 & \text { if } c_n \rightarrow-\infty \ e^{-e^{-c}} & \text { if } c_n \rightarrow c \ 1 & \text { if } c_n \rightarrow \infty\end{cases}
$$
Moreover,
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(\mathbb{G}{n, p} \text { has a perfect matching }\right)=\lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(\delta\left(\mathbb{G}{n, p}\right) \geq 1\right)
$$
Proof. We will for convenience only consider the case where $c_n=\omega \rightarrow \infty$ and $\omega=o(\log n)$. If $c_n \rightarrow-\infty$ then there are isolated vertices, w.h.p. and our proof can easily be modified to handle the case $c_n \rightarrow c$.
Our combinatorial tool that replaces Tutte’s theorem is the following: We say that a matching $M$ isolates a vertex $v$ if no edge of $M$ contains $v$.
For a graph $G$ we let
$$
\mu(G)=\max {|M|: M \text { is a matching in } G} .
$$
Let $G=(V, E)$ be a graph without a perfect matching i.e. $\mu(G)<\lfloor|V| / 2\rfloor$. Fix $v \in V$ and suppose that $M$ is a maximum matching that isolates $v$. Let $S_0(v, M)=$ ${u \neq v: M$ isolates $u}$. If $u \in S_0(v, M)$ and $e={x, y} \in M$ and $f={u, x} \in E$ then flipping $e, f$ replaces $M$ by $M^{\prime}=M+f-e$. Here $e$ is flipped-out. Note that $y \in S_0\left(v, M^{\prime}\right)$.
Now fix a maximum matching $M$ that isolates $v$ and let
$$
A(v, M)=\bigcup_{M^{\prime}} S_0\left(v, M^{\prime}\right)
$$
where we take the union over $M^{\prime}$ obtained from $M$ by a sequence of flips.
随机图论代写
数学代写|随机图论代考Random Graph Theory代写|Perfect Matchings
在我们转向存在完美匹配的问题之前，即覆盖图所有顶点的独立边的集合，在我们的主要研究对象中，随机图 $\mathbb{G} n, p$ ，我们将在随 机二部图中分析相同的问题。这个问题比相应的问题简单得多 $\mathbb{G} n, p$, 但提供了一种在随机图中寻找完美匹配的通用方法。
二部图
让 $\mathbb{G} n, n, p$ 是顶点二分的随机二分图 $V=(A, B), A=[1, n], B=[n+1,2 n]$ 其中每一个 $n^2$ 可能的边縁以概率独立出现 $p$. 以 下定理首先由 Erdôs 和 Rényi [290] 定理 6.1 证明。让 $\omega=\omega(n), c>0$ 是一个常数，并且 $p=\frac{\log n+\omega}{n}$. 然后
而且，
$$
\lim n \rightarrow \infty \mathbb{P}(\mathbb{G} n, n, p \text { has a perfect matching })=\lim n \rightarrow \infty \mathbb{P}\left(\delta\left(\mathbb{G}{n, n, p}\right) \geq 1\right) $$ 证明。我们将使用 Hall 的条件来确定二部图中存在完美匹配。它指出当且仅当满足以下条件时，二分图包含完美匹配: $$ \forall S \subseteq A,|N(S)| \geq|S|, $$ 哪里有一组顶点 $S, N(S)$ 表示的邻居集 $S$. 将 (6.1) 替换为 $$ \forall S \subseteq A,|S| \leq \frac{n}{2}, \quad|N(S)| \geq|S| \forall T \subseteq B,|T| \leq \frac{n}{2}, \quad|N(T)| \geq|T| $$ 我们现在考虑 $\mathbb{G} n, p$. 我们可以尝试用图特定理代替霍尔定理。Erdôs 和 Rényi [291] 给出了沿差这些思路的证明。然而，我们可 以摆脱基于简单扩展属性的更简单方法 $\mathbb{G} n, p$. 这里的证明可以追湖到 Bollobás 和 Frieze [147]。 定理 6.2。让 $\omega=\omega(n), c>0$ 是一个常数，让 $p=\frac{\log n+c_n}{n}$. 然后 $\lim n \rightarrow \infty n$ even $\mathbb{P}(\mathbb{G} n, p$ has a perfect matching $)=\left{\begin{array}{lll}0 & \text { if } c_n \rightarrow-\infty e^{-e^{-c}} & \text { if } c_n \rightarrow c 1\end{array}\right.$ if $c_n \rightarrow \infty$ 而且， $$ \lim n \rightarrow \infty \mathbb{P}(\mathbb{G} n, p \text { has a perfect matching })=\lim n \rightarrow \infty \mathbb{P}(\delta(\mathbb{G} n, p) \geq 1) $$ 证明。
数学代写|随机图论代考Random Graph Theory代写|Non-Bipartite Graphs
为了方便起见，我们将只考虑以下情况 $c_n=\omega \rightarrow \infty$ 和 $\omega=o(\log n)$. 如果 $c_n \rightarrow-\infty$ 然后有孤立的顶点，whp 并且我 们的证明可以很容易地修改以处理这种情况 $c_n \rightarrow c$. 我们取代 Tutte 定理的组合工具如下: 我们说匹配 $M$ 隔离一个顶点 $v$ 如果没有边喙 $M$ 包含 $v$. 对于图表 $G$ 我们让 $$ \mu(G)=\max |M|: M \text { is a matching in } G . $$ 让 $G=(V, E)$ 是一个没有完美匹配的图，即 $\mu(G)<\lfloor|V| / 2\rfloor$. 使固定 $v \in V$ 并假设 $M$ 是隔离的最大匹配 $v$. 让 $S_0(v, M)=$ $u \neq v: M \$$ isolates $\$ u$. 如果 $u \in S_0(v, M)$ 和 $e=x, y \in M$ 和 $f=u, x \in$ E然后翻转e,$f$ 取代 $M$ 经过 $M^{\prime}=M+f-e$ . 这里 $e$ 被翻转了。注意 $y \in S_0\left(v, M^{\prime}\right)$. 现在修复最大匹配 $M$ 隔离 $v$ 然后让 $$ A(v, M)=\bigcup{M^{\prime}} S_0\left(v, M^{\prime}\right)
$$
我们接管工会的地方 $M^{\prime}$ 从…获取 $M$ 通过一系列簐转。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。