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数学代写|随机图论代考Random Graph Theory代写|Sub-Critical Pha

The evolution of Erdôs-Rényi type random graphs has clearly distinguishable phases. The first phase, at the beginning of the evolution, can be described as a period when a random graph is a collection of small components which are mostly trees. Indeed the first result in this section shows that a random graph $\mathbb{G}{n, m}$ is w.h.p. a collection of tree-components as long as $m=o(n)$, or, equivalently, as long as $p=o\left(n^{-1}\right)$ in $\mathbb{G}{n, p}$. For clarity, all results presented in this chapter are stated in terms of $\mathbb{G}{n, m}$. Due to the fact that computations are much easier for $\mathbb{G}{n, p}$ we will first prove results in this model and then the results for $\mathbb{G}_{n, m}$ will follow by the equivalence established either in Lemmas $1.2$ and $1.3$ or in Theorem 1.4. We will also assume, throughout this chapter, that $\omega=\omega(n)$ is a function growing slowly with $n$, e.g. $\omega=\log \log n$ will suffice.

Theorem 2.1. If $m \ll n$, then $\mathbb{G}m$ is a forest w.h.p. Proof. Suppose $m=n / \omega$ and let $N=\left(\begin{array}{l}n \ 2\end{array}\right)$, so $p=m / N \leq 3 /(\omega n)$. Let $X$ be the number of cycles in $\mathbb{G}{n, p}$. Then
\begin{aligned} \mathbb{E} X & =\sum_{k=3}^n\left(\begin{array}{l} n \ k \end{array}\right) \frac{(k-1) !}{2} p^k \ & \leq \sum_{k=3}^n \frac{n^k}{k !} \frac{(k-1) !}{2} p^k \ & \leq \sum_{k=3}^n \frac{n^k}{2 k} \frac{3^k}{\omega^k n^k} \ & =O\left(\omega^{-3}\right) \rightarrow 0 \end{aligned}
Therefore, by the First Moment Method, (see Lemma 22.2),
$$\mathbb{P}\left(\mathbb{G}{n, p} \text { is not a forest }\right)=\mathbb{P}(X \geq 1) \leq \mathbb{E} X=o(1),$$ which implies that $$\mathbb{P}\left(\mathbb{G}{n, p} \text { is a forest }\right) \rightarrow 1 \text { as } n \rightarrow \infty .$$
Notice that the property that a graph is a forest is monotone decreasing, so by Lemma $1.3$
$$\mathbb{P}\left(\mathbb{G}_m \text { is a forest }\right) \rightarrow 1 \text { as } n \rightarrow \infty \text {. }$$

数学代写|随机图论代考Random Graph Theory代写|Super-Critical Phase

The structure of a random graph $\mathbb{G}m$ changes dramatically when $m=\frac{1}{2} c n$ where $c>1$ is a constant. We will give a precise characterisation of this phenomenon, presenting results in terms of $\mathbb{G}_m$ and proving them for $\mathbb{G}{n, p}$ with $p=c / n, c>1$.

Theorem 2.14. If $m=c n / 2, c>1$, then w.h.p. $\mathbb{G}_m$ consists of a unique giant component, with $\left(1-\frac{x}{c}+o(1)\right) n$ vertices and $\left(1-\frac{x^2}{c^2}+o(1)\right) \frac{c n}{2}$ edges. Here $0<x<1$ is the solution of the equation $x e^{-x}=c e^{-c}$. The remaining components are of order at most $O(\log n)$.

Proof. Suppose that $Z_k$ is the number of components of order $k$ in $\mathbb{G}_{n, p}$. Then, bounding the number of such components by the number of trees with $k$ vertices that span a component, we get
\begin{aligned} \mathbb{E} Z_k & \leq\left(\begin{array}{l} n \ k \end{array}\right) k^{k-2} p^{k-1}(1-p)^{k(n-k)} \ & \leq A\left(\frac{n e}{k}\right)^k k^{k-2}\left(\frac{c}{n}\right)^{k-1} e^{-c k+c k^2 / n} \ & \leq \frac{A n}{k^2}\left(c e^{1-c+c k / n}\right)^k \end{aligned}
Now let $\beta_1=\beta_1(c)$ be small enough so that
$$c e^{1-c+c \beta_1}<1,$$
and let $\beta_0=\beta_0(c)$ be large enough so that
$$\left(c e^{1-c+o(1)}\right)^{\beta_0 \log n}<\frac{1}{n^2} .$$

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Erdôs-Rényi 型随机图的演化具有清晰可辦的阶段。第一阶段，在演化之初，可以描述为随机图是小组件（主要是树) 的集合的 时期。实际上，本节中的第一个结果表明随机图 $\mathbb{G} n, m w h p$ 是树组件的集合只要 $m=o(n)$ ，或者，等价地，只要 $p=o\left(n{ }^{-1}\right)$ 在 $\mathbb{G} n, p$. 为清楚起见，本章中的所有结果圴以 $\mathbb{G} n, m$. 由于计算更容易 $\mathbb{G} n, p$ 我们将首先证明这个模型的结果，然后是 $\mathbb{G} n, m$ 将㡢 循在引理中建立的等价性 $1.2$ 和 $1.3$ 或在定理 $1.4$ 中。在本章中，我们还将假设 $\omega=\omega(n)$ 是一个缓慢增长的函数 $n$ ，例如 $\omega=\log \log n$ 就足够了。

$$\mathbb{E} X=\sum_{k=3}^n(n k) \frac{(k-1) !}{2} p^k \quad \leq \sum_{k=3}^n \frac{n^k}{k !} \frac{(k-1) !}{2} p^k \leq \sum_{k=3}^n \frac{n^k}{2 k} \frac{3^k}{\omega^k n^k} \quad=O\left(\omega^{-3}\right) \rightarrow 0$$

$$\mathbb{P}(\mathbb{G} n, p \text { is not a forest })=\mathbb{P}(X \geq 1) \leq \mathbb{E} X=o(1),$$
䢒意味着
$$\mathbb{P}(\mathbb{G} n, p \text { is a forest }) \rightarrow 1 \text { as } n \rightarrow \infty .$$

$$\mathbb{P}\left(\mathbb{G}_m \text { is a forest }\right) \rightarrow 1 \text { as } n \rightarrow \infty .$$

数学代写|随机图论代考Random Graph Theory代写|Super-Critical Phase

$$\mathbb{E} Z_k \leq(n k) k^{k-2} p^{k-1}(1-p)^{k(n-k)} \quad \leq A\left(\frac{n e}{k}\right)^k k^{k-2}\left(\frac{c}{n}\right)^{k-1} e^{-c k+c k^2 / n} \leq \frac{A n}{k^2}\left(c e^{1-c+c k / n}\right)^k$$

$$c e^{1-c+c \beta_1}<1$$

$$\left(c e^{1-c+o(1)}\right)^{\beta 0 \log n}<\frac{1}{n^2} .$$

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。