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统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|STAT360 Analysis of variance for linear regression models

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统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Analysis of variance for linear regression models

Remark: The overall fit of a linear regression model (simple or multiple) can be summarized by using an analysis of variance (ANOVA). The results of this analysis are often presented in a table to show how variability in the response data $Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$ is partitioned into different sources. This partition allows us to assess the overall fit of the model.
Recall: Consider the linear regression model
$$Y_i=\beta_0+\beta_1 x_{i 1}+\beta_2 x_{i 2}+\cdots+\beta_k x_{i k}+\epsilon_i,$$

for $i=1,2, \ldots, n$, or, in matrix notation,
$$\mathbf{Y}=\mathbf{X} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\epsilon} .$$
Recall $\mathbf{H}=\mathbf{X}\left(\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{\prime}$ is the hat matrix, and $\widehat{\mathbf{Y}}=\mathbf{H Y}$ and $\mathbf{e}=(\mathbf{I}-\mathbf{H}) \mathbf{Y}$ are the vectors of fitted values and residuals, respectively. The matrix $\mathbf{I}$ is the $n \times n$ identity matrix.

Approach: To create an analysis of variance partition, start with the simple quadratic form $\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{Y}=\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{I}$. Note that
\begin{aligned} \mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{Y}=\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{I Y} & =\mathbf{Y}^{\prime}(\mathbf{H}+\mathbf{I}-\mathbf{H}) \mathbf{Y} \ & =\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{H Y}+\mathbf{Y}^{\prime}(\mathbf{I}-\mathbf{H}) \mathbf{Y} \ & =\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{H H} \mathbf{Y}+\mathbf{Y}^{\prime}(\mathbf{I}-\mathbf{H})(\mathbf{I}-\mathbf{H}) \mathbf{Y}=\widehat{\mathbf{Y}}^{\prime} \widehat{\mathbf{Y}}+\mathbf{e}^{\prime} \mathbf{e} \end{aligned}
because both $\mathbf{H}$ and $\mathbf{I}-\mathbf{H}$ are symmetric and idempotent. This equation can be expressed equivalently as
$$\sum_{i=1}^n Y_i^2=\sum_{i=1}^n \widehat{Y}i^2+\sum{i=1}^n\left(Y_i-\widehat{Y}i\right)^2 .$$ We use the following terminology: \begin{aligned} & \text { (uncorrected) total sum of squares } \longrightarrow \mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{I Y}=\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{Y}=\sum{i=1}^n Y_i^2 \ & \text { (uncorrected) regression sum of squares } \longrightarrow \mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{H Y}=\widehat{\mathbf{Y}}^{\prime} \widehat{\mathbf{Y}}=\sum_{i=1}^n \widehat{Y}i^2 \ & \text { error (residual) sum of squares } \rightarrow \mathbf{Y}^{\prime}(\mathbf{I}-\mathbf{H}) \mathbf{Y}=\mathbf{e}^{\prime} \mathbf{e}=\sum{i=1}^n\left(Y_i-\widehat{Y}_i\right)^2 . \end{aligned}

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Survival Analysis

Remark: The statistical analysis of lifetime data is important in many areas, including biomedical applications (e.g., clinical trials, etc.), engineering, and actuarial science. The term “lifetime” means “time to event,” where an event may refer to death, part failure, insurance claim, natural disaster, eradication of infection, etc.

• In chronic disease clinical trials; e.g., trials involving cancer, diabetes, cardiovascular disease, etc., the primary endpoint (variable) of interest may be time to death, time to relapse of disease, time to disease progression, etc. For such trials, we are usually interested in comparing the distribution of the time to event among two or more treatments.
• Typically, clinical trials occur over a finite period of time; therefore, the time to event is not measured on all patients in the study. This results in what is referred to as censored data. Also, because patients generally enter a clinical trial at different calendar times (staggered entry), the amount of follow-up time varies for different individuals.
• The combination of censoring and staggered entry creates challenges in the analysis of such data that do not allow basic statistical techniques to be used. This area of statistics is called survival analysis.

统计推断代写

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Analysis of variance for linear regression models

$$Y_i=\beta_0+\beta_1 x_{i 1}+\beta_2 x_{i 2}+\cdots+\beta_k x_{i k}+\epsilon_i,$$

$$\mathbf{Y}=\mathbf{X} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\epsilon}$$

$$\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{Y}=\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{I} \mathbf{Y}=\mathbf{Y}^{\prime}(\mathbf{H}+\mathbf{I}-\mathbf{H}) \mathbf{Y} \quad=\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{H} \mathbf{Y}+\mathbf{Y}^{\prime}(\mathbf{I}-\mathbf{H}) \mathbf{Y}=\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{H} \mathbf{H} \mathbf{Y}+\mathbf{Y}^{\prime}(\mathbf{I}-\mathbf{H})(\mathbf{I}-\mathbf{H}) \mathbf{Y}=\widehat{\mathbf{Y}}^{\prime} \widehat{\mathbf{Y}}^{\prime} \mathbf{e}^{\prime} \mathbf{e}$$

$$\sum_{i=1}^n Y_i^2=\sum_{i=1}^n \widehat{Y} i^2+\sum i=1^n\left(Y_i-\widehat{Y} i\right)^2$$

(uncorrected) total sum of squares $\longrightarrow \mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{I Y}=\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{Y}=\sum i=1^n Y_i^2 \quad$ (uncorrected) regression sum of squares $\longrightarrow \mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{H} \mathbf{Y}=\widehat{\mathbf{Y}}^{\prime} \widehat{\mathbf{Y}}=\sum_{i=1}^n \widehat{Y}^2$

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Survival Analysis

• 在慢性病临床试验中；例如，涉及㿋症、糖尿病、心血管疾病等的试验，感言趣的主要終点（罕量）可能是死亡时间、疾病 昆发时间、疾病进展时间等。对于此粀试验，我们通常感兴趣的是比较两种或多种治疗之间事件发生时间的分布。
• 通常，临床试验会在有限的时间内进行；因此，并末对研究中的所有患者测量事件发生时间。这导致所谉的删失数据。此 外，由于患者通常在不同的日历时间（交错进入）进入临床试验，因此随访时间因人而异。
• 审亘和交错进入的结合对不允许使用其本统计技术的此粀数据的分析造成了挑战。这个统计领域称为生存分析。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。