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## 电子代写|数字信号处理代写Digital Signal Processing代考|Time and Frequency Domain Analysis

For any $T>0$, we may sample a CT signal $x(t)$ to generate the DT signal
$$x[n]=x(n T) .$$
This amounts to evaluating $x(t)$ at uniformly spaced points on the $t$-axis. The number $T$ is the sampling period,
$$f_s=\frac{1}{T}$$
is the sampling frequency, and
$$\omega_s=2 \pi f_s=\frac{2 \pi}{T}$$
is the radian sampling frequency. Normally, the units of $f_s$ are Hertz or samples/sec. The units of $\omega_s$ are $\mathrm{rad} / \mathrm{sec}$. The time interval $[n T,(n+1) T]$ is called the $n$th sampling interval. The process of sampling is sometimes depicted as a switch which closes momentarily every $T$ units of time:

A useful expression for the DTFT of $x[n]$ can be obtained by writing $x(t)$ in terms of its inverse transform:
$$x(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(j \omega) e^{j \omega t} d \omega$$
\begin{aligned} x[n] & =x(n T) \ & =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(j \omega) e^{j \omega n T} d \omega \ & =\frac{1}{2 \pi} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{k \omega_s}^{(k+1) \omega_s} X(j \omega) e^{j \omega n T} d \omega \ & =\frac{1}{2 \pi T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_0^{2 \pi} X\left(j \frac{\Omega+2 \pi k}{T}\right) e^{j(\Omega+2 \pi k) n} d \Omega \quad(\Omega=\omega T-2 \pi k) \ & =\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi}\left(\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(j \frac{\Omega+2 \pi k}{T}\right)\right) e^{j \Omega n} d \Omega \end{aligned}
The analysis shows that
$$X_{D T}\left(e^{j \Omega}\right)=\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X_{C T}\left(j \frac{\Omega+2 \pi k}{T}\right)$$

## 电子代写|数字信号处理代写Digital Signal Processing代考|Aliasing

We say a CT signal $x(t)$ is bandlimited if there exists $\omega_B<\infty$ such that $X_{C T}(j \omega)=0$ for $|\omega|>\omega_B$. Suppose $X_{C T}$ has transform depicted (very roughly) in Figure 3.2. (We use a signal with $X_{C T}(0)=1$ for reference.)

The number $\omega_B$ is the bandwidth of the signal. If $x(t)$ is bandlimited, (3.1) indicates that $X_{D T}\left(e^{j \Omega}\right)$ looks like Figure $3.3$

Figure $3.3$ is drawn assuming
$$2 \pi-\omega_B T>\omega_B T$$
or, equivalently,
$$\omega_s>2 \omega_B .$$
In this case, (3.1) indicates that
$$X_{D T}\left(e^{j \Omega}\right)=X_{C T}\left(j \frac{\Omega}{T}\right)$$
for $-\pi \leq \Omega<\pi$. This establishes the fundamental relationship between the CT and DT frequency variables $\omega$ and $\Omega$ under sampling:
$$\Omega=\omega T .$$
We will encounter equation (3.2) under a variety of circumstances when sampling is involved.
For $\omega_s<2 \omega_B$, the picture reverts to Figure 3.4. In this case, the shifts of $X_{C T}\left(j \frac{\Omega}{T}\right)$ overlap – a phenomenon called aliasing. As we will see, aliasing is undesirable in most signal processing applications. The minimum radian sampling frequency $\omega_s=2 \omega_B$ required to avoid aliasing is called the Nyquist rate.

## 电子代写|数字信号处理代写Digital Signal Processing代考|Time and Frequency Domain Analysis

$$x[n]=x(n T) .$$

$$f_s=\frac{1}{T}$$

$$\omega_s=2 \pi f_s=\frac{2 \pi}{T}$$

DTFT 的有用表达式 $x[n]$ 可以通过写得到 $x(t)$ 就其逆新换而言:
$$\begin{gathered} x(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(j \omega) e^{j \omega t} d \omega \ x[n]=x(n T) \quad=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(j \omega) e^{j \omega n T} d \omega=\frac{1}{2 \pi} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{k \omega_s}^{(k+1) \omega_s} X(j \omega) e^{j \omega n T} d \omega \quad=\frac{1}{2 \pi T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_0^{2 \pi} X\left(j \frac{\Omega+2 \pi k}{T}\right) e^{j(\Omega+2 \pi k) n} d \Omega \quad(\Omega=\omega T-2 i \end{gathered}$$

$$X_{D T}\left(e^{j \Omega}\right)=\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X_{C T}\left(j \frac{\Omega+2 \pi k}{T}\right)$$

## 电子代写|数字信号处理代写Digital Signal Processing代考|Aliasing

$$2 \pi-\omega_B T>\omega_B T$$

$$\omega_s>2 \omega_B$$

$$X_{D T}\left(e^{j \Omega}\right)=X_{C T}\left(j \frac{\Omega}{T}\right)$$

$$\Omega=\omega T .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。