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# 数学代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|AMATH562 DEFINITION AND PROPERTIES OF ITO’S INTEGRAL

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## 数学代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|DEFINITION AND PROPERTIES OF ITO’S INTEGRAL

Let $W(\cdot)$ be a 1-dimensional Brownian motion defined on some probability space $(\Omega, \mathcal{U}, P)$. DEFINITIONS. (i) The $\sigma$-algebra $\mathcal{W}(t):=\mathcal{U}(W(s) \mid 0 \leq s \leq t)$ is called the history of the Brownian motion up to (and including) time $t$.
(ii) The $\sigma$-algebra $\mathcal{W}^{+}(t):=\mathcal{U}(W(s)-W(t) \mid s \geq t)$ is the future of the Brownian motion beyond time $t$.

DEFINITION. A family $\mathcal{F}(\cdot)$ of $\sigma$-algebras $\subseteq \mathcal{U}$ is called nonanticipating (with respect to $W(\cdot))$ if
(a) $\mathcal{F}(t) \supseteq \mathcal{F}(s)$ for all $t \geq s \geq 0$
(b) $\mathcal{F}(t) \supseteq \mathcal{W}(t)$ for all $t \geq 0$
(c) $\mathcal{F}(t)$ is independent of $\mathcal{W}^{+}(t)$ for all $t \geq 0$.
We also refer to $\mathcal{F}(\cdot)$ as a filtration.
IMPORTANT REMARK. We should informally think of $\mathcal{F}(t)$ as “containing all information available to us at time $t$ “. Our primary example will be $\mathcal{F}(t):=\mathcal{U}(W(s)(0 \leq$ $\left.s \leq t), X_0\right)$, where $X_0$ is a random variable independent of $\mathcal{W}^{+}(0)$. This will be employed in Chapter 5 , where $X_0$ will be the (possibly random) initial condition for a stochastic differential equation.

DEFINITION. A real-valued stochastic process $G(\cdot)$ is called nonanticipating (with respect to $\mathcal{F}(\cdot))$ if for each time $t \geq 0, G(t)$ is $\mathcal{F}(t)$-measurable.

The idea is that for each time $t \geq 0$, the random variable $G(t)$ “depends upon only the information available in the $\sigma$-algebra $\mathcal{F}(t)$ “.

## 数学代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|EXTENDING THE DEFINITION

EXTENDING THE DEFINITION. For many applications, it is important to consider a wider class of integrands, instead of just $\mathbb{L}^2(0, T)$. To this end we define $\mathbb{M}^2(0, T)$ to be the space of all real-valued, progressively measurable processes $G(\cdot)$ such that
$$\int_0^T G^2 d t<\infty \quad \text { a.s. }$$
It is possible to extend the definition of the Itô integral to cover $G \in \mathbb{M}^2(0, T)$, although we will not do so in these notes. The idea is to find a sequence of step processes $G^n \in \mathbb{M}^2(0, T)$ such that
$$\int_0^T\left(G-G^n\right)^2 d t \rightarrow 0 \text { a.s. as } n \rightarrow \infty .$$
It turns out that we can then define
$$\int_0^T G d W:=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^T G^n d W,$$
the expressions on the right converging in probability. See for instance Friedman $[\mathrm{F}]$ or Gihman-Skorohod [G-S] for details.

More on Riemann sums. In particular, if $G \in \mathbb{M}^2(0, T)$ and $t \mapsto G(t, \omega)$ is continuous for a.e. $\omega$, then
$$\sum_{k=0}^{m_n-1} G\left(t_k^n\right)\left(W\left(t_{k+1}^n\right)-W\left(t_k^n\right)\right) \rightarrow \int_0^T G d W$$
in probability, where $P^n=\left{0=t^n<\cdots<t_{m_n}^n=T\right}$ is any sequence of partitions, with $\left|P^n\right| \rightarrow 0$. This confirms the consistency of Itô’s integral with the earlier calculations involving Riemann sums, evaluated at $\tau_k^n=t_k^n$.

# 随机偏微分方程代写

## 数学代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|DEFINITION AND PROPERTIES OF ITO’S INTEGRAL

(ii) 该 $\sigma^{-}$代数 $\mathcal{W}^{+}(t):=\mathcal{U}(W(s)-W(t) \mid s \geq t)$ 是超越时间的布朗运动的末来 $t$.

(一) $\mathcal{F}(t) \supseteq \mathcal{F}(s)$ 对所有人 $t \geq s \geq 0$
(乙) $\mathcal{F}(t) \supseteq \mathcal{W}(t)$ 对所有人 $t \geq 0$
(c) $\mathcal{F}(t)$ 独立于 $\mathcal{W}^{+}(t)$ 对所有人 $t \geq 0$.

$s \leq t), X_0$ )，在哪里 $X_0$ 是独立于的随机变量 $\mathcal{W}^{+}(0)$. 这将在第 5 章中使用，其中 $X_0$ 将是随机微分方程的 (可能是随机的) 初 始条件。

## 数学代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|EXTENDING THE DEFINITION

$$\int_0^T G^2 d t<\infty \quad \text { a.s. }$$
$G^n \in \mathbb{M}^2(0, T)$ 这样
$$\int_0^T\left(G-G^n\right)^2 d t \rightarrow 0 \text { a.s. as } n \rightarrow \infty$$

$$\int_0^T G d W:=\lim {n \rightarrow \infty} \int_0^T G^n d W$$ 右边的表达式在概率上收敛。参见例如弗里德鄙 $[F]$ 或 Gihman-Skorohod [GS] 了解详情。 更多关于㥎分和的信息。特别是，如果 $G \in \mathbb{M}^2(0, T)$ 和 $t \mapsto G(t, \omega)$ 对于 ae 是连续的 $\omega$ ，然后 $$\sum{k=0}^{m_n-1} G\left(t_k^n\right)\left(W\left(t_{k+1}^n\right)-W\left(t_k^n\right)\right) \rightarrow \int_0^T G d W$$

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