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## 数学代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|ITO’S FORMULA

Assume $n=1$ and $X(\cdot)$ solves the SDE
(3)
$$d X=b(X) d t+d W$$

Suppose next that $u: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ is a given smooth function. We ask: what stochastic differential equation does
$$Y(t):=u(X(t)) \quad(t \geq 0)$$
solve? Offhand, we would guess from (3) that
$$d Y=u^{\prime} d X=u^{\prime} b d t+u^{\prime} d W,$$
according to the usual chain rule, where ${ }^{\prime}=\frac{d}{d x}$. This is wrong, however! In fact, as we will see,
$$d W \approx(d t)^{1 / 2}$$
in some sense. Consequently if we compute $d Y$ and keep all terms of order $d t$ or $(d t)^{\frac{1}{2}}$, we obtain
\begin{aligned} d Y & =u^{\prime} d X+\frac{1}{2} u^{\prime \prime}(d X)^2+\ldots \ & =u^{\prime}(\underbrace{b d t+d W}_{\text {from }(3)})+\frac{1}{2} u^{\prime \prime}(b d t+d W)^2+\ldots \ & =\left(u^{\prime} b+\frac{1}{2} u^{\prime \prime}\right) d t+u^{\prime} d W+\left{\text { terms of order }(d t)^{3 / 2} \text { and higher }\right} . \end{aligned}
Here we used the “fact” that $(d W)^2=d t$, which follows from (4). Hence
$$d Y=\left(u^{\prime} b+\frac{1}{2} u^{\prime \prime}\right) d t+u^{\prime} d W,$$
with the extra term ” $\frac{1}{2} u^{\prime \prime} d t$ ” not present in ordinary calculus.

## 数学代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|BASIC DEFINITIONS

Let us begin with a puzzle:
Bertrand’s paradox. Take a circle of radius 2 inches in the plane and choose a chord of this circle at random. What is the probability this chord intersects the concentric circle of radius 1 inch?

Solution #1 Any such chord (provided it does not hit the center) is uniquely determined by the location of its midpoint.

Thus
$$\text { probability of hitting inner circle }=\frac{\text { area of inner circle }}{\text { area of larger circle }}=\frac{1}{4} \text {. }$$
Solution #2 By symmetry under rotation we may assume the chord is vertical. The diameter of the large circle is 4 inches and the chord will hit the small circle if it falls within its 2 -inch diameter.

Hence
$$\text { probability of hitting inner circle }=\frac{2 \text { inches }}{4 \text { inches }}=\frac{1}{2} .$$
Solution #3 By symmetry we may assume one end of the chord is at the far left point of the larger circle. The angle $\theta$ the chord makes with the horizontal lies between $\pm \frac{\pi}{2}$ and the chord hits the inner circle if $\theta$ lies between $\pm \frac{\pi}{6}$.

# 随机偏微分方程代写

## 数学代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考||TO’S FORMULA

(3)
$$d X=b(X) d t+d W$$

$$Y(t):=u(X(t)) \quad(t \geq 0)$$

$$d Y=u^{\prime} d X=u^{\prime} b d t+u^{\prime} d W,$$

$$d W \approx(d t)^{1 / 2}$$

\left 缺少或无法识别的分隔符

$$d Y=\left(u^{\prime} b+\frac{1}{2} u^{\prime \prime}\right) d t+u^{\prime} d W,$$

## 数学代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|BASIC DEFINITIONS

$$\text { probability of hitting inner circle }=\frac{\text { area of inner circle }}{\text { area of larger circle }}=\frac{1}{4} .$$

$$\text { probability of hitting inner circle }=\frac{2 \text { inches }}{4 \text { inches }}=\frac{1}{2} \text {. }$$
$\pm \frac{\pi}{6}$

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