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# 数学代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|STAT433 MATHEMATICAL JUSTIFICATION

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## 数学代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|MATHEMATICAL JUSTIFICATION

MATHEMATICAL JUSTIFICATION. A more careful study of this technique of passing to limits with random walks on a lattice depends upon the Laplace-De Moivre Theorem.

As above we assume the particle moves to the left or right a distance $\Delta x$ with probability 1/2. Let $X(t)$ denote the position of particle at time $t=n \Delta t \quad(n=0, \ldots)$. Define
$$S_n:=\sum_{i=1}^n X_i,$$
where the $X_i$ are independent random variables such that
$$\left{\begin{array}{l} P\left(X_i=0\right)=1 / 2 \ P\left(X_i=1\right)=1 / 2 \end{array}\right.$$
for $i=1, \ldots$. Then $V\left(X_i\right)=\frac{1}{4}$.
Now $S_n$ is the number of moves to the right by time $t=n \Delta t$. Consequently
$$X(t)=S_n \Delta x+\left(n-S_n\right)(-\Delta x)=\left(2 S_n-n\right) \Delta x .$$
Note also
\begin{aligned} V(X(t)) & =(\Delta x)^2 V\left(2 S_n-n\right) \ & =(\Delta x)^2 4 V\left(S_n\right)=(\Delta x)^2 4 n V\left(X_1\right) \ & =(\Delta x)^2 n=\frac{(\Delta x)^2}{\Delta t} t . \end{aligned}
Again assume $\frac{(\Delta x)^2}{\Delta t}=D$. Then
$$X(t)=\left(2 S_n-n\right) \Delta x=\left(\frac{S_n-\frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{4}}}\right) \sqrt{n} \Delta x=\left(\frac{S_n-\frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{4}}}\right) \sqrt{t D} .$$
The Laplace-De Moivre Theorem thus implies
\begin{aligned} \lim {\substack{n \rightarrow \infty \ t=n \Delta t, \frac{(\Delta x)^2}{\Delta t}=D}} P(a \leq X(t) \leq b) & =\lim {n \rightarrow \infty}\left(\frac{a}{\sqrt{t D}} \leq \frac{S_n-\frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{4}}} \leq \frac{b}{\sqrt{t D}}\right) \ & =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{\frac{a}{\sqrt{t D}}}^{\frac{b}{\sqrt{t D}}} e^{-\frac{x^2}{2}} d x \ & =\frac{1}{\sqrt{2 \pi D t}} \int_a^b e^{-\frac{x^2}{2 D t}} d x \end{aligned}

## 数学代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|CONSTRUCTION OF BROWNIAN MOTION

COMPUTATION OF JOINT PROBABILITIES. From the definition we know that if $W(\cdot)$ is a Brownian motion, then for all $t>0$ and $a \leq b$,
$$P(a \leq W(t) \leq b)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \int_a^b e^{-\frac{x^2}{2 t}} d x,$$
since $W(t)$ is $N(0, t)$.
Suppose we now choose times $0<t_1<\cdots<t_n$ and real numbers $a_i \leq b_i$, for $i=$ $1, \ldots, n$. What is the joint probability
$$P\left(a_1 \leq W\left(t_1\right) \leq b_1, \cdots, a_n \leq W\left(t_n\right) \leq b_n\right) ?$$
In other words, what is the probability that a sample path of Brownian motion takes values between $a_i$ and $b_i$ at time $t_i$ for each $i=1, \ldots n$ ?

We can guess the answer as follows. We know
$$P\left(a_1 \leq W\left(t_1\right) \leq b_1\right)=\int_{a_1}^{b_1} \frac{e^{-\frac{x_1^2}{2 t_1}}}{\sqrt{2 \pi t_1}} d x_1 ;$$
and given that $W\left(t_1\right)=x_1, a_1 \leq x_1 \leq b_1$, then presumably the process is $N\left(x_1, t_2-t_1\right)$ on the interval $\left[t_1, t_2\right]$. Thus the probability that $a_2 \leq W\left(t_2\right) \leq b_1$, given that $W\left(t_1\right)=x_1$, should equal
$$\int_{a_2}^{b_2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi\left(t_2-t_1\right)}} e^{-\frac{\left|x_2-x_1\right|^2}{2\left(t_2-t_1\right)}} d x_2 .$$

# 随机偏微分方程代写

## 数学代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|MATHEMATICAL JUSTIFICATION

$$S_n:=\sum_{i=1}^n X_i,$$

$\$ \$$\operatorname{Vleft}{$$
P\left(X_i=0\right)=1 / 2 P\left(X_i=1\right)=1 / 2
$$\正确的。 for \ i=1, \ldots \$$. Then $\$ V\left(X_i\right)=\frac{1}{4} \$$. Now \ S_n \$$ isthenumberofmovestotherightbytime $\$ t=n \Delta t \$$. Consequently x(t)=s_{-} n \Delta x+\backslash left \left(n-s_{-} n \backslash\right. right )(-\backslash Delta x)=\backslash left \left(2 s_{-} n-n \backslash\right. right ) \backslash Delta x 。 Notealso$$
V(X(t))=(\Delta x)^2 V\left(2 S_n-n\right) \quad=(\Delta x)^2 4 V\left(S_n\right)=(\Delta x)^2 4 n V\left(X_1\right)=(\Delta x)^2 n=\frac{(\Delta x)^2}{\Delta t} t
$$Againassume \ \frac{(\Delta x)^2}{\Delta t}=D \$$.Then
$x(t)=\backslash$ left $\left(2 s_{-} n-n \backslash\right.$ right $) \backslash$ Delta $x=\backslash \operatorname{left}\left(\backslash\right.$ frac $\left{s_{-} n-\backslash\right.$ frac $\left.{n}{2}\right}{\backslash \operatorname{sqrt}{\backslash$ frac ${n}{4}}} \backslash$ right $) \backslash$ sqrt ${n} \backslash$ Delta $x=\backslash$ left $\left(\backslash\right.$ frac $\left{s_{-} n-\backslash \operatorname{frac}{n}{2}\right}{\backslash$ sqrt ${\backslash$ frac ${n}{4}}} \backslash$ right $) \backslash$ sqrt ${t \mathrm{D}}$ 。
TheLaplace – DeMoivreTheoremthusimplies
$\$ \$$## 数学代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代 考|CONSTRUCTION OF BROWNIAN MOTION 联合概率的计算。从定义我们知道如果 W(\cdot) 是布朗运动，那么对于所有 t>0 和 a \leq b ，$$
P(a \leq W(t) \leq b)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \int_a^b e^{-\frac{x^2}{2}} d x,
$$自从 W(t) 是 N(0, t). 假设找们现在选择时间 0<t_1<\cdots<t_n 和实数 a_i \leq b_i ，为了 i=1, \ldots, n. 什么是联合概率$$
P\left(a_1 \leq W\left(t_1\right) \leq b_1, \cdots, a_n \leq W\left(t_n\right) \leq b_n\right) ?
$$换句话说，布朗运动的样本路径取值的概率是多少 a_i 和 b_i 在时间 t_i 每个 i=1, \ldots n ? 我们可以猜则答安如下。我们知道$$
P\left(a_1 \leq W\left(t_1\right) \leq b_1\right)=\int_{a_1}^{b_1} \frac{e^{-\frac{x_1^2}{2_1}}}{\sqrt{2 \pi t_1}} d x_1 ;
$$W\left(t_1\right)=x_1, 应该等于$$
\int_{a_2}^{b_2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi\left(t_2-t_1\right)}} e^{-\frac{\left|x_2-x_1\right|^2}{2\left(t_2-t_1\right)}} d x_2


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