Posted on Categories:数学代写, 衍生品, 金融代写, 金融衍生品

# 金融代写|金融衍生品代写Financial Derivatives代考|BA4825/5825 Proof of the sufficient condition

avatest™

## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

•最快12小时交付

•200+ 英语母语导师

•70分以下全额退款

## 金融代写|金融衍生品代写Financial Derivatives代考|Proof of the sufficient condition

Prove it by change of probability measure

If $\mathcal{E}(-\theta \cdot B)$ is a martingale, then we can define a new probability $\mathbb{Q}$ by $\frac{d \mathbb{Q}}{d \mathbb{P}}=\mathcal{E}(-\theta \cdot B)$.

By Girsanov’s theorem , $\hat{B}(t)=B(t)+\int_0^t \theta(s) d s$ is a Brownian motion under $\mathbb{Q}$.

For any portfolio $\pi(\cdot)$, the discounted wealth process $\bar{X}(t)$ satisfies
$d \bar{X}(t)=\bar{\pi}(t)^{\prime} u(t) d t+\bar{\pi}(t)^{\prime} \sigma(t) d B(t)=\bar{\pi}(t)^{\prime} \sigma(t) d \hat{B}(t)$.

$\bar{X}$ is a $\mathbb{Q}$-local martingale, hence supermartingale.

So $\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[\bar{X}(T)] \leq x(0)=0$. which means $\pi(\cdot)$ can not be an arbitrage opportunity.

Equivalent martingale measure (EMM)

The market is called standard if the condition in Th 1 holds.

In this case, any $\theta(\cdot)$ satisfying $\sigma(\cdot) \theta(\cdot)=u(\cdot)$ is called a risk premium (process)

Any probability measure $\mathbb{Q}$ defined by $\frac{d \mathbb{Q}}{d \mathbb{P}}=\mathcal{E}(-\theta \cdot B)$ is called an EMM. Under $\mathbb{Q}$,

discounted wealth process for a tame portfolio is a local martingale, therefore a supermartingale;
discounted prices of assets are local martingales.

## 金融代写|金融衍生品代写Financial Derivatives代考|Replication and pricing

Definition 2: A contingent claim $\xi$ at time $T$ is replicable if it can be replicated by some tame portfolio and the initial wealth $S_0(0) \mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\left[\xi / S_0(T)\right]$ for some $E M M \mathbb{Q}$.

For $\forall \xi$ at time $T$ replicated by some tame portfolio, then the replication cost at time 0 satisfies $V_{\xi}(0) \geq S_0(0) \mathbb{E}_{\mathrm{Q}}\left[\xi / S_0(T)\right]$.

If $V_{\xi}(0)=S_0(0) \mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\left[\xi / S_0(T)\right]$, then the discounted wealth process is a $\mathbb{Q}$-martingale.

This definition excludes those contingent claim achieved by portfolios with discounted wealth process being strict local martingale.

Replication and pricing
Theorem 2: For any replicable $\xi, \mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\left[\xi / S_0(T)\right]$ is invariant for any EMM $\mathbb{Q}$.

Given a replicable $\xi$,

For any EMM $\mathbb{Q}$, calculate $\bar{X}t:=\mathbb{E}{\mathbb{Q}}\left[\xi / S_0(T) \mid \mathcal{F}_t\right]$;

Calculate $d \bar{X}_t=[\cdots] d t+H_t^{\top} d \hat{B}(t)$.

According to Theorem 2, $\bar{X}_t$ is invariant over all EMM.
Solve $\sigma(t)^{\top} \pi_t e^{-\int_0^t r_s d s}=H(t)$.

$\pi_t$ is the replicating portfolio.

If $\xi$ is replicable, its replication cost is $S_0(0) \mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\left[\frac{\xi}{S_0(T)}\right]$.

## 金融代写|金融衍生品代写Financial Derivatives代考|Proof of the sufficient condition

$d \bar{X}(t)=\bar{\pi}(t)^{\prime} u(t) d t+\bar{\pi}(t)^{\prime} \sigma(t) d B(t)=\bar{\pi}(t)^{\prime} \sigma(t) d \hat{B}(t)$.
$\bar{X}$ 是一个Q-本地鞅，因此超级鞅。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。