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# 金融代写|金融衍生品代写Financial Derivatives代考|FINM7041 American Options

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## 金融代写|金融衍生品代写Financial Derivatives代考|American Options

American options

An American option with payoff function $f(\cdot) \geq 0$ can be exercised at any time $\tau$ before expiry $T$ with payoff $f(S(\tau))$ paid at time $\tau$.

At time $t$ in the life time of the American option, denote by $V_t^A$ its current price.

intrinsic value: $f(S(t))$, the payoff if exercised at $t$;

exercise time:
$\tau \in \mathcal{T}(t) \triangleq{$ stopping time $\hat{\tau}: t \leq \hat{\tau} \leq T}$

$V_t^A \geq f(S(t))$

$V_t^A$ is no less than its European counterpart $V_t^E$;

the option will be exercised at some $\tau \in \mathcal{T}(t)$, chosen by the holder.

Valuation and optimal exercise

If exercised at $\tau$, the payoff is $f(S(\tau))$ paid at time $\tau$.

Equivalent payoff: $\xi=f(S(\tau)) e^{r(T-\tau)}$ paid at $T$.

It’s time $t$ price is $\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\left[e^{-r(\tau-t)} f(S(\tau)) \mid \mathcal{F}_t\right]$.

$V_t^A=\sup {\tau \in \mathcal{T}(t)} \mathbb{E}{\mathbb{Q}}\left[e^{-r(\tau-t)} f(S(\tau)) \mid \mathcal{F}_t\right]=V^A(t, S(t))$.

Holding region: $\Gamma \triangleq\left{(t, s): V^A(t, s)>f(s)\right}$; optimal exercise $\tau_t^*=\inf \left{u \geq t: V^A(u, S(u))=f(S(u))\right}$.

Denote $Y_u=e^{-r u} f\left(S_u\right)$. Under $\mathbb{Q}$,

if $Y$, is a submartingale, then $\tau^*(t)=T$, hence American $\Leftrightarrow$ European;

if $Y$, is a super-mart., then $\tau^*(t)=t, V_t^A=f(S(t))$.

If $f(\cdot)$ is $C^2$, these two cases can be easy to identify.

## 金融代写|金融衍生品代写Financial Derivatives代考|Free boundary formulation

Define the operator $\mathcal{L}_{B S}$ as the LHS in the BS PDE.

In the holding region $(t, s) \in \Gamma$, Black-Scholes analysis applies, hence
$$\mathcal{L}_{B S} V^A(t, s)=0, \quad V^A(t, s)-f(s)>0 .$$

In the exercise region $\Gamma^C, V^A(t, s)=f(s)$, but Black-Scholes analysis shows inequality,
$$\mathcal{L}_{B S} V^A(t, s) \leq 0, \quad V^A(t, s)-f(s)=0 .$$

Terminal condition at $T: \quad V^A(T, s)=f(s)$.

Exercise boundary condition on $\partial \Gamma$ :

$V^A(t, s)=f(s)$.

smooth fitting : if $f^{\prime}(\cdot)$ exists, $\frac{\partial V^A}{\partial s}(t, s)=f^{\prime}(s)$.

## 金融代写|金融衍生品代写Financial Derivatives代考|American Options

\begin{aligned} & \tau \in \mathcal{T}(t) \triangleq \text { Sstoppingtime } \ \hat{\tau}: t \leq \hat{\tau} \leq T \ & V_t^A \geq f(S(t)) \ & V_t^A \text { 不亚于欧洲同行 } V_t^E ; \end{aligned}

## 金融代写|金融衍生品代写Financial Derivatives代考|Free boundary formulation

$$\mathcal{L}{B S} V^A(t, s)=0, \quad V^A(t, s)-f(s)>0 .$$ 在运动区 $\Gamma^C, V^A(t, s)=f(s)$ ，但 Black-Scholes 分析显示不平等， $$\mathcal{L}{B S} V^A(t, s) \leq 0, \quad V^A(t, s)-f(s)=0 .$$

$$V^A(t, s)=f(s) \text {. }$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。