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数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|MATH581 Integral with respect to QV

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随机微积分Stochastic Calculus MATH581 应用随机微积分的最著名的随机过程是维纳过程(为纪念诺伯特-维纳而命名),它被用来模拟路易-巴切莱特在1900年和阿尔伯特-爱因斯坦在1905年描述的布朗运动以及其他受随机力作用的粒子在空间的物理扩散过程。自20世纪70年代以来,维纳过程被广泛地应用于金融数学和经济学中,以模拟股票价格和债券利率的时间演变。

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数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|MATH581 Integral with respect to QV

数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|Integral with respect to QV

Integral with respect to QV. Let $a$ be an adpated process satisfying $\int_0^t\left|a_s\right|^2 \mathrm{~d} s<$ $\infty, t \geq 0$ almost surely. Let $\mathcal{P}=\left{0=t_0<\cdots<t_n=t\right}$ be our familiar partition of $[0, t]$, for $t \geq 0$.

The fact that $[W]t=t, t \geq 0$, written heuristically in the form (2.27), suggests that the integral of $a$ with respect to time (which, following (2.27), we also write suggestively below as an integral with respect to QV – this is of course well-defined, as QV induces a finite measure, Lebesgue measure, over any finite time interval), $$ J_t:=\int_0^t a_s \mathrm{~d} s=: \int_0^t a_s \mathrm{~d}[W]_s, \quad t \geq 0, $$ should coincide, as the mesh of the partition decreases to zero, with the discrete sum $$ \mathcal{J}_t:=\sum{k=0}^{n-1} a_{t_k}\left(W_{t_{k+1}}-W_{t_k}\right)^2,
$$
of the squared increments of BM, weighted with values of $a$ at the start of each partition interval.

This is true, and we prove this result below. It will come into play when proving the Itô formula in Section 4.

Lemma $2.37$ (Integral with respect to QV). The integral in (2.28) of the adapted process a with respect to $Q V$ and the discrete sum of weighted squared Brownian increments in (2.29), coincide as the mesh of the partition vanishes:
$$
\lim {|\mathcal{P}| \rightarrow 0} \mathcal{J}_t:=\lim {|\mathcal{P}| \rightarrow 0} \sum_{k=0}^{n-1} a_{t_k}\left(W_{t_{k+1}}-W_{t_k}\right)^2=J_t:=\int_0^t a_s \mathrm{~d} s=: \int_0^t a_s \mathrm{~d}[W]_s, \quad \text { a.s. }, \quad t \geq 0 .
$$

数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|Total variation and path length of BM

Total variation and path length of BM. Given a continuous function $f:[0, t] \rightarrow \mathbb{R}$ its total variation over $[0, t]$, over any partition $\mathcal{P}=\left{0=t_0 \leq t_1 \leq \ldots \leq t_n=t\right}$ of $[0, t]$, is
$$
\operatorname{TV}(f)t \equiv[f]_t^{(1)}:=\lim {|\mathcal{P}| \rightarrow 0} \sum_{k=0}^{n-1}\left|f\left(t_{k+1}\right)-f\left(t_k\right)\right|, \quad t \geq 0 .
$$
This may be infinite, or some finite number, in which case we say that $f$ has bounded variation. Consider an element of arc length $\Delta s_k$ along $f(\cdot)$ in the interval $\left[t_k, t_{k+1}\right]$. If this interval is small, we have $\left(\Delta s_k\right)^2 \approx\left(\Delta t_k\right)^2+\left(\Delta f_k\right)^2$, where we have written $\Delta t_k=t_{k+1}-t_k$ and $\Delta f_k=f\left(t_{k+1}\right)-f\left(t_k\right)$. By the triangle inequality we have
$$
\left|\Delta f_k\right| \leq\left|\Delta s_k\right| \leq\left|\Delta f_k\right|+\left|\Delta t_k\right| .
$$

Denoting the total arc length (or path length) of $f$ over $[0, t]$ by $s(f)t$ we therefore have, in the limit $|\mathcal{P}| \rightarrow 0$, Therefore, $$ \operatorname{TV}(f)_t \leq s(f)_t \leq \operatorname{TV}(f)_t+t, \quad t \geq 0 . . $$ finite path length $\Longleftrightarrow \operatorname{TV}(f)<\infty$. If, on the other hand, we examine the quadratic variation of $f(\cdot)$ over $[0, t]$, we have $$ \begin{aligned} {[f]_t } & =\lim {|\mathcal{P}| \rightarrow 0} \sum_{k=0}^{n-1}\left|\Delta f_k | \Delta f_k\right| \
& \leq \lim {|\mathcal{P}| \rightarrow 0}\left(\max {j=0, \ldots, n-1}\left|\Delta f_j\right|\right) \lim {|\mathcal{P}| \rightarrow 0} \sum{k=0}^{n-1}\left|\Delta f_k\right| \
& =\lim {|\mathcal{P}| \rightarrow 0}\left(\max {j=0, \ldots, n-1}\left|\Delta f_j\right|\right) \mathrm{TV}(f) .
\end{aligned}
$$

数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|MATH581 Integral with respect to QV

随机微积分代写

数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|Integral with respect to $\mathrm{Q}$


关于 $\mathrm{QV}$ 的积分。让 $a$ 是一个适应过程满足 $\int_0^t\left|a_s\right|^2 \mathrm{~d} s<\infty, t \geq 0$ 几乎可以肯定。让 \left 缺少或无法识别的分隔符 是 我们呅悉的分区 $[0, t]$ , 为了 $t \geq 0$.
事实上 $[W] t=t, t \geq 0$ ,启发式地写成 (2.27) 的形式,表明积分 $a$ 关于时间(在 (2.27) 之后,我们也在下面暗示性地写为关于 $Q V$ 的积分-ー这当然是明确定义的,因为 $Q V$ 在任何有限时间间隔内引入有限测度,勒贝格测度),
$$
J_t:=\int_0^t a_s \mathrm{~d} s=: \int_0^t a_s \mathrm{~d}[W]s, \quad t \geq 0, $$ 应该重合,因为分区的网格减少到零,与离散总和 $$ \mathcal{J}_t:=\sum k=0^{n-1} a{t_k}\left(W_{t_{k+1}}-W_{t_k}\right)^2,
$$
$\mathrm{BM}$ 的平方增量,加权值 $a$ 在每个分区间隔的开始。
这是真的,我们在下面证明这个结果。它将在第 4 节证明 Itô 公式时发挥作用。
引理 $2.37$ (关于 $\mathrm{QV}$ 的积分) 。适应过程 $\mathrm{a}$ 关于 (2.28) 的积分 $Q V$ 和 (2.29) 中的加权平方布朗增量的离散和,随着分区网格消 失而重合:
$$
\lim |\mathcal{P}| \rightarrow 0 \mathcal{J}t:=\lim |\mathcal{P}| \rightarrow 0 \sum{k=0}^{n-1} a_{t_k}\left(W_{t_{k+1}}-W_{t_k}\right)^2=J_t:=\int_0^t a_s \mathrm{~d} s=: \int_0^t a_s \mathrm{~d}[W]s, \quad \text { a.s. }, \quad t \geq 0 $$ path length of BM $B M$ 的总变化和路径长度。给定一个连紏函数 $f:[0, t] \rightarrow \mathbb{R}$ 它的总变化超过 $[0, t]$, 在任何分区 \left 缺少或无法识别的分隔符 $\quad$ 的 $[0, t]$ ,是 $$ \operatorname{TV}(f) t \equiv[f]_t^{(1)}:=\lim |\mathcal{P}| \rightarrow 0 \sum{k=0}^{n-1}\left|f\left(t_{k+1}\right)-f\left(t_k\right)\right|, \quad t \geq 0
$$

数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|Total variation and path length of BM


这可能是无限的,或者某个有限的数字,在这种情况下我们说 $f$ 有有限的变化。考虑一个弧长元絜 $\Delta s_k$ 沿着 $f(\cdot)$ 在区间 $\left[t_k, t_{k+1}\right]$. 如果这个区间很小,我们有 $\left(\Delta s_k\right)^2 \approx\left(\Delta t_k\right)^2+\left(\Delta f_k\right)^2$ ,我们写的地方 $\Delta t_k=t_{k+1}-t_k$ 和 $\Delta f_k=f\left(t_{k+1}\right)-f\left(t_k\right)$. 由三 角不等式我们有
$$
\left|\Delta f_k\right| \leq\left|\Delta s_k\right| \leq\left|\Delta f_k\right|+\left|\Delta t_k\right| .
$$
表示的总弧长 (或路径长度) $f$ 超过 $[0, t]$ 经过 $s(f) t$ 因此,我们有,在极限 $|\mathcal{P}| \rightarrow 0$ ,所以,
$$
\operatorname{TV}(f)t \leq s(f)_t \leq \operatorname{TV}(f)_t+t, \quad t \geq 0 . $$ 有限路径长度 $\Longleftrightarrow \mathrm{TV}(f)<\infty$. 另一方面,如果我们检萛的二次方差 $f(\cdot)$ 超过 $[0, t]$, 我们有 $$ [f]_t=\lim |\mathcal{P}| \rightarrow 0 \sum{k=0}^{n-1}\left|\Delta f_k\right| \Delta f_k|\quad \leq \lim | \mathcal{P}\left|\rightarrow 0\left(\max j=0, \ldots, n-1\left|\Delta f_j\right|\right) \lim \right| \mathcal{P}\left|\rightarrow 0 \sum k=0^{n-1}\right| \Delta f_k|=\lim | \mathcal{P} \mid \rightarrow 0(\max j=0, \ldots, n-1
$$

数学代写|随机微积分代写Stochastic Calculus代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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