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随机微积分Stochastic Calculus MATH581 应用随机微积分的最著名的随机过程是维纳过程（为纪念诺伯特-维纳而命名），它被用来模拟路易-巴切莱特在1900年和阿尔伯特-爱因斯坦在1905年描述的布朗运动以及其他受随机力作用的粒子在空间的物理扩散过程。自20世纪70年代以来，维纳过程被广泛地应用于金融数学和经济学中，以模拟股票价格和债券利率的时间演变。
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数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|Itˆo Integral of a general integrand
3.4. Itô Integral of a general integrand. Let $b$ be a process (not necessarily an elementary process) such that, for any fixed $t \geq 0$ :
$b_s$ is $\mathcal{F}_s$-measurable, $\forall s \in[0, t]$.
$\mathbb{E}\left[\int_0^t b_s^2 \mathrm{~d} s\right]<\infty$.
Then, any such process can be approximated by simple processes, with the approximation becoming suitably precise as we refine the partition used to define the simple processes.
Theorem 3.10. There is a sequence of elementary processes $\left(b^{(n)}\right){n=1}^{\infty}$ such that $$ \lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\left[\int_0^t\left|b_s^{(n)}-b_s\right|^2 \mathrm{~d} s\right]=0, \quad t \geq 0 .
$$
We have shown how to define
$$
I_t^{(n)}:=\int_0^t b_s^{(n)} \mathrm{d} W_s, \quad t \geq 0,
$$
for every $n \in \mathbb{N}$. We now define the general Itô integral by
$$
I_t=\int_0^t b_s \mathrm{~d} W_s:=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^t b_s^{(n)} \mathrm{d} W_s, \quad t \geq 0 .
$$
For each $t \geq 0$, this limit exists, due to the Itô isometry (Theorem 3.5) and the approximation result of Theorem 3.10. This means that the sequence $\left(I_t^{(n)}\right){n \in \mathbb{N}}$ defined in (3.7) is a Cauchy sequence in $L^2(W)$ and so has a limit. Here is the argument. Suppose $m$ and $n$ are large positive integers. Then $$ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[\left|I_t^{(n)}-I_t^{(m)}\right|^2\right] & =\operatorname{var}\left(I_t^{(n)}-I_t^{(m)}\right) \ & =\mathbb{E}\left[\left(\int_0^t\left(b_s^{(n)}-b_s^{(m)}\right) \mathrm{d} W_s\right)^2\right] \ \text { (Itô isometry) } & =\mathbb{E}\left[\int_0^t\left(b_s^{(n)}-b_s^{(m)}\right)^2 \mathrm{~d} s\right] \ & \leq \mathbb{E}\left[\int_0^t\left(\left|b_s^{(n)}-b_s\right|+\left|b_s-b_s^{(m)}\right|\right)^2 \mathrm{~d} s\right] \ \left((a+b)^2 \leq 2\left(a^2+b^2\right)\right) & \leq 2 \mathbb{E}\left[\int_0^t\left|b_s^{(n)}-b_s\right|^2 \mathrm{~d} s\right]+2 \mathbb{E}\left[\int_0^t\left|b_s-b_s^{(m)}\right|^2 \mathrm{~d} s\right], \end{aligned} $$ which approaches zero as $m, n \rightarrow \infty$, by Theorem 3.10. This guarantees that the sequence $\left(I_t^{(n)}\right){n=1}^{\infty}$ is a Cauchy sequence in $L^2(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}$ ) and so has a limit (which will inherit all the properties of each $\left.I_t^{(n)}\right)$.
数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|Properties of the general Itˆo integral
3.5. Properties of the general Itô integral. The Itô integral
$$
I_t:=\int_0^t b_s \mathrm{~d} W_s, \quad t \geq 0,
$$
as we have defined it, for general integrands satisfying the integrability condition
$$
\mathbb{E}\left[\int_0^t b_s^2 \mathrm{~d}[W]_s\right]<\infty, \quad t \geq 0 .
$$
inherits all its properties from the properties of Itô integrals of elementary integrands, so we summarise the properties in the following theorem.
Note that we sometimes use the notation
$$
I:=\int_0 b_s \mathrm{~d} W_s,
$$
to denote the process in (3.8) (so we dispense with writing the time index $t$, with a similar convention for all integrals that might appear).
Theorem 3.11 (Properties of the Itô integral, martingale version). For $t \geq 0$, let $b$ be an adapted process that satisfies (3.9). Then the Itô integral $I=\left(I_t\right)_{t \geq 0}$ of (3.8) is a continuous adapted process satisfying, in addition:
Linearity: If $I=\int_0^v b_s \mathrm{~d} W_s, J_t=\int_0^v a_s \mathrm{~d} W_s$, then $I \pm J_t=\int_0^s\left(b_s \pm a_s\right) \mathrm{d} W_s$, and for $c \in \mathbb{R}, c I=\int_0^{\prime} c b_s \mathrm{~d} W_s$
Martingale property: $I=\left(I_t\right){t \geq 0}$ is a martingale. Itô isometry: The variance of the Itô integral is $\operatorname{var}(I)=\mathbb{E}\left[I^2\right]$ given by $\mathbb{E}\left[I^2\right]=$ $\mathbb{E}\left[\int_0^c b_s^2 \mathrm{~d} s\right]$ Quadratic variation: The Itô integral has quadratic variation process $[I]=\left([I]_t\right){t \geq 0}$ given by
$$
[I]_t \equiv\left[\int_0 b_s \mathrm{~d} W_s\right]_t=\int_0^t b_s^2 \mathrm{~d}[W]_s=\int_0^t b_s^2 \mathrm{~d} s, \quad t \geq 0 .
$$
Doob-Meyer decomposition: The process $I^2-[I]$ is a martingale.
随机微积分代写
数学代写随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|l’°° Integral of a general integrand
Itô 一般被积函数的积分。让 $b$ 是一个过程 (不一定是基本过程) 使得对于任何固定的 $t \geq 0$ :
$b_s$ 是 $\mathcal{F}s-$ 可衡量的， $\forall s \in[0, t]$. $\mathbb{E}\left[\int_0^t b_s^2 \mathrm{~d} s\right]<\infty$ 然后，任何这样的过程都可以用简单的过程来近似，随着我们细化用于定义简单过程的分区，近似变得适当皘确。 是理 3.10。存在一系列基本过程 $\left(b^{(n)}\right) n=1^{\infty}$ 这样 $$ \lim n \rightarrow \infty \mathbb{E}\left[\int_0^t\left|b_s^{(n)}-b_s\right|^2 \mathrm{~d} s\right]=0, \quad t \geq 0 $$ 乎们已弪展示了如何定义 $$ I_t^{(n)}:=\int_0^t b_s^{(n)} \mathrm{d} W_s, \quad t \geq 0, $$ 每 个 $n \in \mathbb{N}$. 我们现在定义一般 Itô 积分 $$ I_t=\int_0^t b_s \mathrm{~d} W_s:=\lim {n \rightarrow \infty} \int_0^t b_s^{(n)} \mathrm{d} W_s, \quad t \geq 0 .
$$
对于每个 $t \geq 0$ ，由于 ltô 等距 (定理 $3.5$ ) 和定理 $3.10$ 的近似结果，此极限存在。 这意味差序列 $\left(I_t^{(n)}\right) n \in \mathbb{N}(3.7)$ 中定义的是 一个 Cauchy 序列 $L^2(W)$ 所以有一个限制。这是论点。认为 $m$ 和 $n$ 是大的正整数。 然后
$$
\mathbb{E}\left[\left|I_t^{(n)}-I_t^{(m)}\right|^2\right]=\operatorname{var}\left(I_t^{(n)}-I_t^{(m)}\right) \quad=\mathbb{E}\left[\left(\int_0^t\left(b_s^{(n)}-b_s^{(m)}\right) \mathrm{d} W_s\right)^2\right](\text { It 个 isometry })=\mathbb{E}\left[\int_0^t\left(b_s^{(n)}-b_s^{(m)}\right)^2 \mathrm{~d} s\right] \quad \leq \mathbb{E}\left[\int _ { 0 } ^ { t } \left(\left|b_s^{(n)}-b_s\right|\right.\right. \text {. }
$$
接近于零 $m, n \rightarrow \infty$, 根局定理 3.10。这保证了序列 $\left(I_t^{(n)}\right) n=1^{\infty}$ 是一个柯西序列 $L^2(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 所以有一个限制（官将继承每 个的所有属性 $\left.I_t^{(n)}\right)$.
数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|Properties of the general It’o integral
一般 Itô 积分的性质。伊藤积分
$$
I_t:=\int_0^t b_s \mathrm{~d} W_s, \quad t \geq 0,
$$
正如我们所定义的，对于满足可积条件的一般被和函数
$$
\mathbb{E}\left[\int_0^t b_s^2 \mathrm{~d}[W]s\right]<\infty, \quad t \geq 0 . $$ 继承了其本被积函数的 Itô 积分的所有性质，因此我们将这些性质总结为以下定理。 请注意，我们有时使用符昊 $$ I:=\int_0 b_s \mathrm{~d} W_s, $$ 来表示 (3.8) 中的过程（所以我们省去了写时间䒺引 $\mid t$ ，对可能出现的所有积分都有类似的约定）。 定理 $3.11$ (Itô 积分的性质，鞅版本) 。为了 $t \geq 0$ ，让 $b$ 是满足 $(3.9)$ 的适应过程。那么伊藤和分 $I=\left(I_t\right){t \geq 0}(3.8)$ 的连续自适 应过程满足，另外:
线侏度: 如果 $I=\int_0^v b_s \mathrm{~d} W_s, J_t=\int_0^v a_s \mathrm{~d} W_s$ ，然后 $I \pm J_t=\int_0^s\left(b_s \pm a_s\right) \mathrm{d} W_s$, 对于 $c \in \mathbb{R}, c I=\int_0^{\prime} c b_s \mathrm{~d} W_s$
鞅侏质: $I=\left(I_t\right) t \geq 0$ 0是一个鞅. Itô isometry: Itồ 积分的方差为 $\operatorname{var}(I)=\mathbb{E}\left[I^2\right]$ 由 $\mathbb{E}\left[I^2\right]=\mathbb{E}\left[\int_0^c b_s^2 \mathrm{~d} s\right]$ Quadratic variation: 伊胉跕分有二次变分过程 $[I]=\left([I]_t\right) t \geq 0$ 由
$$
[I]_t \equiv\left[\int_0 b_s \mathrm{~d} W_s\right]_t=\int_0^t b_s^2 \mathrm{~d}[W]_s=\int_0^t b_s^2 \mathrm{~d} s, \quad t \geq 0 .
$$
Doob-Meyer 分解: 过程 $I^2-[I]$ 是一个鞅。
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微观经济学代写
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线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。