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# 数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|STAT433 Itˆo Integral of a general integrand

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## 数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|Itˆo Integral of a general integrand

3.4. Itô Integral of a general integrand. Let $b$ be a process (not necessarily an elementary process) such that, for any fixed $t \geq 0$ :

$b_s$ is $\mathcal{F}_s$-measurable, $\forall s \in[0, t]$.

$\mathbb{E}\left[\int_0^t b_s^2 \mathrm{~d} s\right]<\infty$.
Then, any such process can be approximated by simple processes, with the approximation becoming suitably precise as we refine the partition used to define the simple processes.
Theorem 3.10. There is a sequence of elementary processes $\left(b^{(n)}\right){n=1}^{\infty}$ such that $$\lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\left[\int_0^t\left|b_s^{(n)}-b_s\right|^2 \mathrm{~d} s\right]=0, \quad t \geq 0 .$$
We have shown how to define
$$I_t^{(n)}:=\int_0^t b_s^{(n)} \mathrm{d} W_s, \quad t \geq 0,$$
for every $n \in \mathbb{N}$. We now define the general Itô integral by
$$I_t=\int_0^t b_s \mathrm{~d} W_s:=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^t b_s^{(n)} \mathrm{d} W_s, \quad t \geq 0 .$$

For each $t \geq 0$, this limit exists, due to the Itô isometry (Theorem 3.5) and the approximation result of Theorem 3.10. This means that the sequence $\left(I_t^{(n)}\right){n \in \mathbb{N}}$ defined in (3.7) is a Cauchy sequence in $L^2(W)$ and so has a limit. Here is the argument. Suppose $m$ and $n$ are large positive integers. Then \begin{aligned} \mathbb{E}\left[\left|I_t^{(n)}-I_t^{(m)}\right|^2\right] & =\operatorname{var}\left(I_t^{(n)}-I_t^{(m)}\right) \ & =\mathbb{E}\left[\left(\int_0^t\left(b_s^{(n)}-b_s^{(m)}\right) \mathrm{d} W_s\right)^2\right] \ \text { (Itô isometry) } & =\mathbb{E}\left[\int_0^t\left(b_s^{(n)}-b_s^{(m)}\right)^2 \mathrm{~d} s\right] \ & \leq \mathbb{E}\left[\int_0^t\left(\left|b_s^{(n)}-b_s\right|+\left|b_s-b_s^{(m)}\right|\right)^2 \mathrm{~d} s\right] \ \left((a+b)^2 \leq 2\left(a^2+b^2\right)\right) & \leq 2 \mathbb{E}\left[\int_0^t\left|b_s^{(n)}-b_s\right|^2 \mathrm{~d} s\right]+2 \mathbb{E}\left[\int_0^t\left|b_s-b_s^{(m)}\right|^2 \mathrm{~d} s\right], \end{aligned} which approaches zero as $m, n \rightarrow \infty$, by Theorem 3.10. This guarantees that the sequence $\left(I_t^{(n)}\right){n=1}^{\infty}$ is a Cauchy sequence in $L^2(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}$ ) and so has a limit (which will inherit all the properties of each $\left.I_t^{(n)}\right)$.

## 数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|Properties of the general Itˆo integral

3.5. Properties of the general Itô integral. The Itô integral
$$I_t:=\int_0^t b_s \mathrm{~d} W_s, \quad t \geq 0,$$
as we have defined it, for general integrands satisfying the integrability condition
$$\mathbb{E}\left[\int_0^t b_s^2 \mathrm{~d}[W]_s\right]<\infty, \quad t \geq 0 .$$
inherits all its properties from the properties of Itô integrals of elementary integrands, so we summarise the properties in the following theorem.
Note that we sometimes use the notation
$$I:=\int_0 b_s \mathrm{~d} W_s,$$

to denote the process in (3.8) (so we dispense with writing the time index $t$, with a similar convention for all integrals that might appear).

Theorem 3.11 (Properties of the Itô integral, martingale version). For $t \geq 0$, let $b$ be an adapted process that satisfies (3.9). Then the Itô integral $I=\left(I_t\right)_{t \geq 0}$ of (3.8) is a continuous adapted process satisfying, in addition:

Linearity: If $I=\int_0^v b_s \mathrm{~d} W_s, J_t=\int_0^v a_s \mathrm{~d} W_s$, then $I \pm J_t=\int_0^s\left(b_s \pm a_s\right) \mathrm{d} W_s$, and for $c \in \mathbb{R}, c I=\int_0^{\prime} c b_s \mathrm{~d} W_s$
Martingale property: $I=\left(I_t\right){t \geq 0}$ is a martingale. Itô isometry: The variance of the Itô integral is $\operatorname{var}(I)=\mathbb{E}\left[I^2\right]$ given by $\mathbb{E}\left[I^2\right]=$ $\mathbb{E}\left[\int_0^c b_s^2 \mathrm{~d} s\right]$ Quadratic variation: The Itô integral has quadratic variation process $[I]=\left([I]_t\right){t \geq 0}$ given by
$$[I]_t \equiv\left[\int_0 b_s \mathrm{~d} W_s\right]_t=\int_0^t b_s^2 \mathrm{~d}[W]_s=\int_0^t b_s^2 \mathrm{~d} s, \quad t \geq 0 .$$
Doob-Meyer decomposition: The process $I^2-[I]$ is a martingale.

## 数学代写随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|l’°° Integral of a general integrand

Itô 一般被积函数的积分。让 $b$ 是一个过程 (不一定是基本过程) 使得对于任何固定的 $t \geq 0$ :
$b_s$ 是 $\mathcal{F}s-$ 可衡量的， $\forall s \in[0, t]$. $\mathbb{E}\left[\int_0^t b_s^2 \mathrm{~d} s\right]<\infty$ 然后，任何这样的过程都可以用简单的过程来近似，随着我们细化用于定义简单过程的分区，近似变得适当皘确。 是理 3.10。存在一系列基本过程 $\left(b^{(n)}\right) n=1^{\infty}$ 这样 $$\lim n \rightarrow \infty \mathbb{E}\left[\int_0^t\left|b_s^{(n)}-b_s\right|^2 \mathrm{~d} s\right]=0, \quad t \geq 0$$ 乎们已弪展示了如何定义 $$I_t^{(n)}:=\int_0^t b_s^{(n)} \mathrm{d} W_s, \quad t \geq 0,$$ 每 个 $n \in \mathbb{N}$. 我们现在定义一般 Itô 积分 $$I_t=\int_0^t b_s \mathrm{~d} W_s:=\lim {n \rightarrow \infty} \int_0^t b_s^{(n)} \mathrm{d} W_s, \quad t \geq 0 .$$

$$\mathbb{E}\left[\left|I_t^{(n)}-I_t^{(m)}\right|^2\right]=\operatorname{var}\left(I_t^{(n)}-I_t^{(m)}\right) \quad=\mathbb{E}\left[\left(\int_0^t\left(b_s^{(n)}-b_s^{(m)}\right) \mathrm{d} W_s\right)^2\right](\text { It 个 isometry })=\mathbb{E}\left[\int_0^t\left(b_s^{(n)}-b_s^{(m)}\right)^2 \mathrm{~d} s\right] \quad \leq \mathbb{E}\left[\int _ { 0 } ^ { t } \left(\left|b_s^{(n)}-b_s\right|\right.\right. \text {. }$$

## 数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|Properties of the general It’o integral

$$I_t:=\int_0^t b_s \mathrm{~d} W_s, \quad t \geq 0,$$

$$\mathbb{E}\left[\int_0^t b_s^2 \mathrm{~d}[W]s\right]<\infty, \quad t \geq 0 .$$ 继承了其本被积函数的 Itô 积分的所有性质，因此我们将这些性质总结为以下定理。 请注意，我们有时使用符昊 $$I:=\int_0 b_s \mathrm{~d} W_s,$$ 来表示 (3.8) 中的过程（所以我们省去了写时间䒺引 $\mid t$ ，对可能出现的所有积分都有类似的约定）。 定理 $3.11$ (Itô 积分的性质，鞅版本) 。为了 $t \geq 0$ ，让 $b$ 是满足 $(3.9)$ 的适应过程。那么伊藤和分 $I=\left(I_t\right){t \geq 0}(3.8)$ 的连续自适 应过程满足，另外:

$$[I]_t \equiv\left[\int_0 b_s \mathrm{~d} W_s\right]_t=\int_0^t b_s^2 \mathrm{~d}[W]_s=\int_0^t b_s^2 \mathrm{~d} s, \quad t \geq 0 .$$
Doob-Meyer 分解: 过程 $I^2-[I]$ 是一个鞅。

## MATLAB代写

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