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# EE代写|连续线性系统代写Continous Time Linear System代考|EE350 Periodic orbits and Poincar´e maps

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## EE代写|连续线性系统代写Continous Time Linear System代考|Periodic orbits and Poincar´e maps

We consider again the differential equation (3) and let $\gamma$ denote a periodic orbit of the flow of (3) with period $T$ and $\boldsymbol{p} \in \gamma$. Then, for some $k$, the $k^{\text {th }}$ coordinate of the map $f$ must be non-zero at $\boldsymbol{p}$, i.e. $f_k(\boldsymbol{p}) \neq 0$. Take the hyperplane given by
$$\Sigma=\left{\boldsymbol{x}: x_k=p_k\right} .$$
The hyperplane $\Sigma$ is called a cross section at $\boldsymbol{p}$. For some $\boldsymbol{x} \in \Sigma$ near $\boldsymbol{p}$, the flow $\phi^t(\boldsymbol{x})$ returns to $\Sigma$ in time $\tau(\boldsymbol{x})$ close to $T$. We call $\tau(\boldsymbol{x})$ the first return time.

Definition 2.8.1. Let $V \subset \Sigma$ be an open set in $\Sigma$ on which $\tau(\boldsymbol{x})$ is a differentiable function. The Poincaré map, $P: V \rightarrow \Sigma$, is defined by
$$P(\boldsymbol{x})=\phi^{\tau(\boldsymbol{x})}(\boldsymbol{x}) .$$
Thus, the Poincaré map reduces the analysis of a continuous time dynamical system to the analysis of a discrete time dynamical system. This is very useful for the analysis of the behaviour of periodic orbits of flows since such orbits are fixed points of the Poincaré map. We list below some properties of the Poincaré map of a flow near a periodic orbit.

## EE代写|连续线性系统代写Continous Time Linear System代考|Theorem

Theorem 2.8.2. Let $\phi^t$ be the $C^r$ flow $(r \geq 1)$ of $\dot{\boldsymbol{x}}=f(\boldsymbol{x})$.
i) If $\boldsymbol{p}$ is on a periodic orbit of period $T$ and $\Sigma$ is transversal at $\boldsymbol{p}$, then the first return time $\tau(\boldsymbol{x})$ is defined in a neighbourhood $V$ of $\boldsymbol{p}$ and $\tau: V \rightarrow \mathbb{R}$ is $C^r$.
ii) The Poincaré map (8) is $C^r$.
iii) If $\gamma$ is a periodic orbit of period $T$ and $\boldsymbol{p} \in \gamma$, then $D \phi_{\boldsymbol{p}}^T$ has 1 as an eigenvalue with eigenvector $f(\boldsymbol{p})$.
iv) If $\gamma$ is a periodic orbit of period $T$ and $\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q} \in \gamma$, then the derivatives $D \phi_{\boldsymbol{p}}^T$ and $D \phi_{\boldsymbol{q}}^T$ are linearly conjugate and so have the same eigenvalues.

We will now use the Poincaré map to study the stability of periodic orbits of the dynamical system defined by (3). Let $\gamma$ be a periodic orbit of period $T$ for the flow of (3) with $\boldsymbol{p} \in \gamma$ and let $1, \lambda_1, \ldots, \lambda_{m-1}$ be the eigenvalues of $D \phi_{\boldsymbol{p}}^T$. The $m-1$ eigenvalues $\lambda_1, \ldots, \lambda_{m-1}$ are called the characteristic multipliers of the periodic orbit $\gamma$. We say that

• $\gamma$ is hyperbolic if $\left|\lambda_j\right| \neq 1$ for all $j \in{1, \ldots, m-1}$.
• $\gamma$ is elliptic if $\left|\lambda_j\right|=1$ for all $j \in{1, \ldots, m-1}$.
Moreover, in the case where $\gamma$ is a hyperbolic periodic orbit, we say that
• $\gamma$ is a periodic sink if $\left|\lambda_j\right|<1$ for all $j \in{1, \ldots, m-1}$.
• $\gamma$ is a periodic source if $\left|\lambda_j\right|>1$ for all $j \in{1, \ldots, m-1}$.
• $\gamma$ is a saddle periodic orbit if $\gamma$ is neither a periodic sink nor a periodic source.
The next result establishes the relation between the characteristic multipliers and the Poincaré map near a periodic orbit.

## EE代写|连续线性系统代写Continous Time Linear System代考|Periodic orbits and Poincar

${ }^{-}$e maps $\boldsymbol{p} ， 1 E f_k(\boldsymbol{p}) \neq 0$. 取由绐出的超平面
\left 缺少或无法识别的分隔符

$$P(\boldsymbol{x})=\phi^{\tau(\boldsymbol{x})}(\boldsymbol{x}) .$$

## EE代写|连续线性系统代与Continous Time Linear System代考|Theorem

$\rightarrow$ 如果 $\boldsymbol{p}$ 在周期的周期轨道上 $T$ 和 横向于 $\boldsymbol{p}$, 那 $\angle$ 第一次返回时间 $\tau(\boldsymbol{x})$ 在邻域中定义 $V$ 的 $\boldsymbol{p}$ 和 $\tau: V \rightarrow \mathbb{R}$ 是 $C^r$.
ii) 庞加莱㘨射 (8) 是 $C^r$.
iii) 如果 $\gamma$ 是周期的周期轨道 $T$ 和 $\boldsymbol{p} \in \gamma$ ，然后 $D \phi_{\boldsymbol{p}}^T$ 具有 1 作为具有特征向量的特征值 $f(\boldsymbol{p})$.
iv) 如果 $\gamma$ 是周期的周期轨道 $T$ 和 $\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q} \in \gamma$ ，那/㝵数 $D \phi_{\boldsymbol{p}}^T$ 和 $D \phi_{\boldsymbol{q}}^T$ 是线性共轪的，因此具有相同的特征值。

• $\gamma$ 是双曲线的如果 $\left|\lambda_j\right| \neq 1$ 对所有人 $j \in 1, \ldots, m-1$.
• $\gamma$ 是椭圆的如果 $\left|\lambda_j\right|=1$ 对所有人 $j \in 1, \ldots, m-1$.
此外，在这种情况下 $\gamma$ 是一个双曲周期轨道，我们说
• $\gamma$ 是一个周期性汇如果 $\left|\lambda_j\right|<1$ 对所有人 $j \in 1, \ldots, m-1$.
• $\gamma$ 是周期性来源, 如果 $\left|\lambda_j\right|>1$ 对所有人 $j \in 1, \ldots, m-1$.
• $\gamma$ 是一个鞍周期肍九道如果 $\gamma$ 既不是周期:汇也不是周期源。
下一个结果建立了特征乘子与周期轨道附近的 Poincaré 映射之间的关系。

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