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随机微积分Stochastic Calculus MATH581 应用随机微积分的最著名的随机过程是维纳过程（为纪念诺伯特-维纳而命名），它被用来模拟路易-巴切莱特在1900年和阿尔伯特-爱因斯坦在1905年描述的布朗运动以及其他受随机力作用的粒子在空间的物理扩散过程。自20世纪70年代以来，维纳过程被广泛地应用于金融数学和经济学中，以模拟股票价格和债券利率的时间演变。
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数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|Markovian diffusions
Markovian diffusions. Consider an Itô process $X:=\left(X_t\right)_{t \geq 0}$ satisfying
$$
X_t=X_0+\int_0^t a_s \mathrm{~d} s+\int_0^t b_s \mathrm{~d} W_s, \quad t \geq 0
$$
which we usually write in differential form
$$
\mathrm{d} X_t=a_t \mathrm{~d} t+b_t \mathrm{~d} W_t,
$$
for adapted $a, b$ almost surely satisfying $\int_0\left|a_s\right| \mathrm{d} s<\infty, \int_0^* b_s^2 \mathrm{~d} s<\infty$ (or $\mathbb{E}\left[\int_0^* b_s^2 \mathrm{~d} s\right]<\infty$ if we want the local martingale in (6.6) (or $(6.7)$ ) to be a martingale).
Suppose now that
$$
a_t \equiv a\left(X_t\right), \quad b_t \equiv b\left(X_t\right), \quad t \geq 0
$$
(or we could also have $a_t \equiv a\left(t, X_t\right), b_t \equiv b\left(t, X_t\right)$ ), for well-behaved functions $a(\cdot), b(\cdot)$ such that the process in (6.6) is well-defined. We call the resulting equation
$$
\mathrm{d} X_t=a\left(X_t\right) \mathrm{d} t+b\left(X_t\right) \mathrm{d} W_t,
$$
a stochastic differential equation (SDE) for $X$, with initial condition $X_0$. Then $X$ is a Markov process, because its drift and diffuson coefficients depend only on the current value of $X$, and not on its history prior to the current time. (Note that proving this intuitive result rigorously needs quite a bit of preparatory work on the theory of Markov processes, and we will not delve into this theory here.) The process $X$ in (6.8) is also called a (time-homogeneous) diffusion process in the case where the coefficient functions do not have explicit time dependence. (The term diffusion is often also used for the case when the coefficient functions do have explicit time dependence – in this case, the two-dimensional process $\left(t, X_t\right)_{t \geq 0}$ is the (Markov) process, but the “diffusion” $X$ is not time-homogeneous.)
We (of course) interpret the SDE (6.8) as the integral equation
$$
X_t=X_0+\int_0^t a\left(X_s\right) \mathrm{d} s+\int_0^t b\left(X_s\right) \mathrm{d} W_s, \quad t \geq 0 .
$$
数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|Feynman-Kac theorem
Feynman-Kac theorem. Because of the Markov property, we have, for any $h(\cdot)$ such that $h\left(X_T\right)$ is integrable, for some $T<\infty$, and with $t \in[0, T]$,
$$
\mathbb{E}\left[h\left(X_T\right) \mid \mathcal{F}t\right]=\mathbb{E}\left[h\left(X_T\right) \mid X_t\right]=: v\left(t, X_t\right), \quad t \in[0, T] . $$ For $X_t=x \in \mathbb{R}(6.9)$, defines a function $v:[0, T] \times \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$. Lemma 6.4. With $v(\cdot, \cdot)$ defined by $(6.9)$, assume that $Y_t:=v\left(t, X_t\right), t \in[0, T]$ is integrable for all $t \in[0, T]$ (so $\mathbb{E}\left[\left|Y_t\right|\right]<\infty, \forall t \in[0, T]$ ). Then, $Y=\left(Y_t\right){t \in[0, T]}=\left(v\left(t, X_t\right)\right)_{t \in[0, T]}$ is a martingale.
Proof. For $0 \leq s \leq t \leq T$, on exploiting the Markov property and the tower property, we have
$$
\begin{aligned}
\mathbb{E}\left[Y_t \mid \mathcal{F}s\right]=\mathbb{E}\left[v\left(t, X_t\right) \mid \mathcal{F}_s\right] & =\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[h\left(X_T\right) \mid X_t\right] \mid \mathcal{F}_s\right] \ & =\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[h\left(X_T\right) \mid \mathcal{F}_t\right] \mid \mathcal{F}_s\right] \ & =\mathbb{E}\left[h\left(X_T\right) \mid \mathcal{F}_s\right] \ & =\mathbb{E}\left[h\left(X_T\right) \mid X_s\right] \ & =v\left(s, X_s\right)=Y_s \end{aligned} $$ This leads to a first statement of the Feynman-Kac theorem. Theorem 6.5 (Feynman-Kac I). With $$ \mathrm{d} X_t=a\left(X_t\right) \mathrm{d} t+b\left(X_t\right) \mathrm{d} W_t $$ a continuous diffusion, define the function $v:[0, T] \times \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ by $$ v(t, x):=\mathbb{E}\left[h\left(X_T\right) \mid X_t=x\right], t \in[0, T], $$ for some Borel function $h(\cdot)$. Assume that $v\left(t, X_t\right)$ is integrable for all $t \in[0, T]$, and that $v \in C^{1,2}([0, T] \times \mathbb{R})$. Then, $v(\cdot, \cdot)$ solves the $P D E$ $$ \frac{\partial v}{\partial t}(t, x)+\mathcal{A} v(t, x), \quad v(T, x)=h(x), $$ where $$ \mathcal{A} v(t, x):=a(x) v_x(t, x)+\frac{1}{2} b^2(x) v{x x}(t, x)
$$
defines the generator of $X$.
随机微积分代写
数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|Markovian diffusions
马尔可夫扩散。考虑一个伊藤迌程 $X:=\left(X_t\right){t \geq 0}$ 令人满意 $$ X_t=X_0+\int_0^t a_s \mathrm{~d} s+\int_0^t b_s \mathrm{~d} W_s, \quad t \geq 0 $$ 我们通常写成微形形 $$ \mathrm{d} X_t=a_t \mathrm{~d} t+b_t \mathrm{~d} W_t, $$ 为适应 $a, b$ 几乎肯定令人满意 $\int_0\left|a_s\right| \mathrm{d} s<\infty, \int_0^* b_s^2 \mathrm{~d} s<\infty$ (或者 $\mathbb{E}\left[\int_0^* b_s^2 \mathrm{~d} s\right]<\infty$ 如果我们想要 (6.6) 中的本地鞅 (或 (6.7)）成为一个鞅)。 现在假设 $$ a_t \equiv a\left(X_t\right), \quad b_t \equiv b\left(X_t\right), \quad t \geq 0 $$ (或者我们也可以 $\left.a_t \equiv a\left(t, X_t\right), b_t \equiv b\left(t, X_t\right)\right)$, 对于行为良好的函数 $a(\cdot), b(\cdot)$ 这祥 $(6.6)$ 中的过程是明确定义的。 我们称得 到的方程 $$ \mathrm{d} X_t=a\left(X_t\right) \mathrm{d} t+b\left(X_t\right) \mathrm{d} W_t, $$ 随微分方程 $(\mathrm{SDE}) X$ ，初始条件 $X_0$. 然后 $X$ 是一个马尔可夫过程，因为它的漂移和扩散䒺数只取抉于当前值 $X$ ，而不是当前时间 之前的历史记录。(请主意，严格证明这个直观的结果需要相当多的马尔可夫过程哩论准备工作，我们不会在这里深入研究这个理 论。）过程 $X$ 在系数函数不具有显式时间依赖性的情况下，(6.8) 中的也称为 (时间齐次) 扩散过程。（术语扩散通常也用于系 数函数确实具有显式时间依赖性的情况一-在这种情㒭下，二维过程 $\left(t, X_t\right){t \geq 0}$ 是 (妳可夫) 过程，但”扩散” $X$ 不是时间斉次 的。)
我们 (当然) 将 SDE (6.8) 解释为积分方程
$$
X_t=X_0+\int_0^t a\left(X_s\right) \mathrm{d} s+\int_0^t b\left(X_s\right) \mathrm{d} W_s, \quad t \geq 0 .
$$
数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|Feynman-Kac theorem
费唚-卡范定理。由于马尔可夫性质，我们有，对于任何 $h(\cdot)$ 这样 $h\left(X_T\right)$ 是可积的，对于某些 $T<\infty ， 与 t \in[0, T]$ ，
$$
\mathbb{E}\left[h\left(X_T\right) \mid \mathcal{F} t\right]=\mathbb{E}\left[h\left(X_T\right) \mid X_t\right]=: v\left(t, X_t\right), \quad t \in[0, T] .
$$
为了 $X_t=x \in \mathbb{R}(6.9)$ ， 定义一个函数 $v:[0, T] \times \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$. 引理 6.4。和 $v(\cdot, \cdot)$ 被定义为 $(6.9)$ ，假使，假设 $Y_t:=v\left(t, X_t\right), t \in[0, T]$ 对所有人都是可积的 $t \in[0, T]$ (所以 $\mathbb{E}\left[\left|Y_t\right|\right]<\infty, \forall t \in[0, T]$ ). 然后，
$$
Y=\left(Y_t\right) t \in[0, T]=\left(v\left(t, X_t\right)\right)_{t \in[0, T]} \text { 是一个轫。 }
$$
证明。为了 $0 \leq s \leq t \leq T$ ，在利用马尔可夫属性和塔属侏时，我们有
$$
\mathbb{E}\left[Y_t \mid \mathcal{F}_s\right]=\mathbb{E}\left[v\left(t, X_t\right) \mid \mathcal{F}_s\right]=\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[h\left(X_T\right) \mid X_t\right] \mid \mathcal{F}_s\right] \quad=\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[h\left(X_T\right) \mid \mathcal{F}_t\right] \mid \mathcal{F}_s\right]=\mathbb{E}\left[h\left(X_T\right) \mid \mathcal{F}_s\right] \quad=\mathbb{E}\left[h\left(X_T\right) \mid X_s\right]=v\left(s, X_s\right)=Y_s
$$
这导致费埐-卡奇定理的第一个陈述。定理 $6.5$ (Feynman-Kac I)。和
$$
\mathrm{d} X_t=a\left(X_t\right) \mathrm{d} t+b\left(X_t\right) \mathrm{d} W_t
$$
连㩺扩散，定义函数 $v:[0, T] \times \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ 经过
$$
v(t, x):=\mathbb{E}\left[h\left(X_T\right) \mid X_t=x\right], t \in[0, T],
$$
对于某些 Borel 函数 $h(\cdot)$. 假使，假设 $v\left(t, X_t\right)$ 对所有人都是可积的 $t \in[0, T]$ ，然后 $v \in C^{1,2}([0, T] \times \mathbb{R})$. 然后， $v(\cdot, \cdot)$ 解) 了PDE
$$
\frac{\partial v}{\partial t}(t, x)+\mathcal{A} v(t, x), \quad v(T, x)=h(x),
$$
在哪里
$$
\mathcal{A} v(t, x):=a(x) v_x(t, x)+\frac{1}{2} b^2(x) v x x(t, x)
$$
定义生成器 $X$.
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微观经济学代写
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线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。