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随机微积分Stochastic Calculus MATH581 应用随机微积分的最著名的随机过程是维纳过程（为纪念诺伯特-维纳而命名），它被用来模拟路易-巴切莱特在1900年和阿尔伯特-爱因斯坦在1905年描述的布朗运动以及其他受随机力作用的粒子在空间的物理扩散过程。自20世纪70年代以来，维纳过程被广泛地应用于金融数学和经济学中，以模拟股票价格和债券利率的时间演变。
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数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|Preliminaries
Throughout this chapter, we will be working with one fixed filtration $(\mathcal{F}$.) such that $\mathcal{F}_0$ contains all null sets. We do not assume that the filtration is right continuous. All notions-martingale, local martingale, stopping time, adapted process, predictable process-are with reference to this fixed filtration. Since in this chapter, we need to deal with martingales which may not have r.c.l.l. paths a priori, we will explicitly assume r.c.l.l. paths when it is needed.
For r.c.l.l.semimartingales $X^1, X^2, \ldots, X^d$, we introduce the class of semimartingales that admit integral representation w.r.t. $X^1, X^2, \ldots, X^d$ :
$$
\begin{aligned}
& \mathbb{I}\left(X^1, X^2, \ldots, X^d\right) \
& =\left{Y: \exists g^j \in \mathbb{L}\left(X^j\right), 1 \leq j \leq d \text { with } Y_t=Y_0+\sum_{j=1}^d \int_0^t g^j d X^j \forall t\right}
\end{aligned}
$$
Let us note that if $Y \in \mathbb{I}\left(X^1, X^2, \ldots, X^d\right)$ then for any stopping time $\tau, \tilde{Y}$ defined by $\tilde{Y}t=Y{t \wedge \tau}$ also belongs to $\mathbb{I}\left(X^1, X^2, \ldots, X^d\right)$. Also, if $Y \in \mathbb{I}\left(X^1, X^2, \ldots, X^d\right)$ then we can always choose $g^j \in \mathbb{L}\left(X^j\right)$ with $g_0^j=0$ for $1 \leq j \leq d$ such that
$$
Y_t=Y_0+\sum_{j=1}^d \int_0^t g^j d X^j \forall t<\infty .
$$
If $Y \in \mathbb{I}\left(X^1, X^2, \ldots, X^d\right)$, the semimartingale $Y$ is said to have an integral representation w.r.t. semimartingales $X^1, X^2, \ldots, X^d$. Here is an elementary observation on the class $\mathbb{I}\left(X^1, X^2, \ldots, X^d\right)$.
Lemma 10.1 Let $Y$ be a semimartingale such that for a sequence of stopping times $\tau_n \uparrow \infty, Y^n$ defined by $Y_t^n=Y_{t \wedge \tau_n}$ admits an integral representation w.r.t. r.c.l.l. semimartingales $X^1, X^2, \ldots, X^d$ for each $n \geq 1$. Then $Y$ also admits an integral representation w.r.t. $X^1, X^2, \ldots, X^d$.
Proof Let $f^{n, j} \in \mathbb{L}\left(X^j\right), 1 \leq j \leq d, n \geq 1$ be such that for all $n$,
$$
Y_t^n=Y_0^n+\sum_{j=1}^d \int_0^t f^{n, j} d X^j
$$
Define $f^j$ by
$$
f^j=\sum_{n=1}^{\infty} 1_{\left(\tau_{n-1}, \tau_n\right]} f^{n, j}
$$
Then it is easy to check (using Theorem 4.43) that $f^j \in \mathbb{L}\left(X^j\right)$ and
$$
Y_t=Y_0+\sum_{i=1}^d \int_0^t f^j d X^j
$$
数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|One-Dimensional Case
In this section, we will fix a local martingale $M$ and explore as to when $\mathbb{I}(M)$ contains all martingales. The next lemma gives an important property of $\mathbb{I}(M)$.
Lemma 10.3 Let $M$ be an r.c.l.l. local martingale and let $N^n \in \mathbb{I}(M)$ be martingales such that $\mathrm{E}\left[\left|N_t^n-N_t\right|\right] \rightarrow 0$ for all $t$. Then $N \in \mathbb{I}(M)$.
Proof The assumptions imply that $N$ is a martingale (see Theorem 2.23). In view of Theorem $5.39$ and the assumptions on $N^n, N$, it follows that
$N^n$ converges to $N$ in Emery topology.
Thus, invoking Theorem $4.111$, we conclude that
$$
\left[N^n-N, N^n-N\right]_T \rightarrow 0 \text { in probability as } n \rightarrow \infty
$$
Hence, using $\left[N^n-N^m, N^n-N^m\right]_T \leq 2\left(\left[N^n-N, N^n-N\right]_T+\left[N^m-N, N^m-\right.\right.$ $N]_T$ ) (see $\left.(4.6 .13)\right)$, we have
$$
\left[N^n-N^m, N^n-N^m\right]_T \rightarrow 0 \text { in probability as } n, m \rightarrow \infty
$$
Since $N^n \in \mathbb{I}(M)$, there exists predictable process $g^n \in \mathbb{L}(M)$ such that
$$
N_t^n=N_0^n+\int_0^t g^n d M .
$$
As a consequence, for all $T<\infty$,
$$
\begin{aligned}
{\left[N^n-N^m, N^n-N^m\right]T } & =\int_0^T\left(g_s^n-g_s^m\right)^2 d[M, M]_s . \ & \rightarrow 0 \text { in probability as } n, m \rightarrow \infty . \end{aligned} $$ By taking a subsequence, if necessary and relabelling, we assume that for $1 \leq k \leq n$, $$ \mathrm{P}\left(\left(\int_0^k\left(g_s^n-g_s^k\right)^2 d[M, M]_s\right)^{\frac{1}{2}} \geq \frac{1}{2^k}\right) \leq \frac{1}{2^k} . $$ Then by Borel-Cantelli Lemma, we conclude $$ \sum{k=1}^{\infty}\left(\int_0^T\left(g_s^{k+1}-g_s^k\right)^2 d[M, M]_s\right)^{\frac{1}{2}}<\infty \text { a.s. }
$$
随机微积分代写
数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|Preliminaries
在本章中，我们将使用一个固定的过淲 $\left(\mathcal{F}\right.$.) 这样 $\mathcal{F}0$ 包含所有空集。我们不假设过滤是连续的。所有的既念一一鞅，局部弹，停止 时间、适应的过程、可预则的过程一一都参考了这个固定的过滤。由于在本章中，我们需要处理可能㲁有先验 rCll 路径的勤，因此 我们将在需要时明确假定 rcll 路径。 对于半鞅 $X^1, X^2, \ldots, X^d$ ，我们介绍了承认整数表示的半鞅类 $X^1, X^2, \ldots, X^d$ : \left 缺少或无法识别的分隔符 让我们注意到，如果 $Y \in \mathbb{I}\left(X^1, X^2, \ldots, X^d\right)$ 然后对于任何停止时间 $\tau, \bar{Y}$ 被定义为 $Y$ $\mathbb{I}\left(X^1, X^2, \ldots, X^d\right)$. 另外，如果 $Y \in \mathbb{I}\left(X^1, X^2, \ldots, X^d\right)$ 那么我们总是可以选择 $g^j \in \mathbb{L}\left(X^j\right)$ 和 $g_0^j=0$ 为了 $1 \leq j \leq d$ 这样 $$ Y_t=Y_0+\sum{j=1}^d \int_0^t g^j d X^j \forall t<\infty .
$$
$\mathbb{I}\left(X^1, X^2, \ldots, X^d\right)$.
引理 $10.1$ 让 $Y$ 是一个半咉，使得对于一系列停止时间 $\tau_n \uparrow \infty, Y^{n^n}$ 被定义为 $Y_t^n=Y_{t \wedge \tau_n}$ 承认积分表示 wrtrcll semimartingales $X^1, X^2, \ldots, X^d$ 每个 $n \geq 1$. 然后 $Y$ 也承认积分表示 $\operatorname{wrt} X^1, X^2, \ldots, X^d$.
证明让 $f^{n, j} \in \mathbb{L}\left(X^j\right), 1 \leq j \leq d, n \geq 1$ 对所有人来说 $n$,
$$
Y_t^n=Y_0^n+\sum_{j=1}^d \int_0^t f^{n, j} d X^j
$$
定义 $f^{j^{\prime}}$ 经过
$$
f^j=\sum_{n=1}^{\infty} 1_{\left(\tau_{n-1}, \tau_n\right]} f^{n, j}
$$
然后很容易检龺 (使用定理 4.43) $f^j \in \mathbb{L}\left(X^j\right)$ 和
$$
Y_t=Y_0+\sum_{i=1}^d \int_0^t f^j d X^j
$$
数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|One-Dimensional Case
在本节中，我们将修复本地靼 $M$ 并探讨何时 $I(M)$ 包含所有䩗。下一个引理給出了一个重要的性质I $(M)$.
引理 $10.3$ 让 $M$ 做一个 rcll local martingale 并让 $N^n \in \mathbb{I}(M)$ 是这样的靮 $\mathrm{E}\left[\left|N_t^n-N_t\right|\right] \rightarrow 0$ 对所有人t. 然后 $N \in \mathbb{I}(M)$.
证明假设意味着 $N$ 是一个鞅 (见定理 2.23) 。鉴于定理 $5.39$ 和假设 $N^n, N$ ，它䢗循 $N^n$ 收敛于 $N$ 在金刚砂拓扑中。
因此，调用定理4.111，我们得出结论
$$
\left[N^n-N, N^n-N\right]_T \rightarrow 0 \text { in probability as } n \rightarrow \infty
$$
因此，使用 $\left[N^n-N^m, N^n-N^m\right]_T \leq 2\left(\left[N^n-N, N^n-N\right]_T+\left[N^m-N, N^m-N\right]_T\right) \quad($ 看(4.6.13) $)$ ，我们有
$$
\left[N^n-N^m, N^n-N^m\right]_T \rightarrow 0 \text { in probability as } n, m \rightarrow \infty
$$
自从 $N^n \in \mathbb{I}(M)$, 存在可预则的过程 $g^n \in \mathbb{L}(M)$ 这样
$$
N_t^n=N_0^n+\int_0^t g^n d M .
$$
结果，对于所有 $T<\infty$ ，
$$
\left[N^n-N^m, N^n-N^m\right] T=\int_0^T\left(g_s^n-g_s^m\right)^2 d[M, M]_s . \quad \rightarrow 0 \text { in probability as } n, m \rightarrow \infty .
$$
通过获取子序列 (如有必要) 并重新标记，我们假设对于 $1 \leq k \leq n ，$
$$
\mathrm{P}\left(\left(\int_0^k\left(g_s^n-g_s^k\right)^2 d[M, M]_s\right)^{\frac{1}{2}} \geq \frac{1}{2^k}\right) \leq \frac{1}{2^k} .
$$
然后根据 Borel-Cantelli 引理，我们得出结论
$$
\sum k=1^{\infty}\left(\int_0^T\left(g_s^{k+1}-g_s^k\right)^2 d[M, M]_s\right)^{\frac{1}{2}}<\infty \text { a.s. }
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。