如果你也在 怎样代写椭圆曲线Elliptic Curves MAT4240这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。椭圆曲线Elliptic Curves是一个非线性品种–也就是说，它有一个代数定义的群法，就其而言，它是一个非线性群–而$O$作为身份元素。
如果$y^2=P(x)$，其中$P$是$x$的任何三度多项式，没有重复的根，解集是属一的非星形平面曲线，即椭圆曲线。如果$P$有四度且无平方，这个方程又描述了一条属一的平面曲线；然而，它没有自然选择的特征元素。更一般地说，任何属的代数曲线椭圆曲线，例如嵌入三维投影空间的两个四维曲面的交点，被称为椭圆曲线，条件是它有一个标记点作为标识。
蒙特卡罗模拟Monte Carlo Method在数学中，椭圆曲线是一条属一的平滑、投影、代数曲线，其上有一个指定的点$O$。椭圆曲线定义在一个场$K$上，描述$K^2$中的点，即$K$与自身的笛卡尔积。如果字段的特征不同于2和3，那么该曲线可以被描述为一条平面代数曲线，它由以下的解$(x, y)$组成。
$$
y^2=x^3+a x+b
$$
对于$K$中的一些系数$a$和$b$。该曲线被要求是非星形的，这意味着该曲线没有尖峰或自交点。(这相当于条件4 a^3+27 b^2\neq 0$，即在$x$中无平方。) 人们总是理解，曲线实际上是坐在投影平面内，点$O$是无限大的唯一点。许多资料都把椭圆曲线定义为由这种形式的方程给出的曲线。(当系数场的特征为2或3时，上述方程还不够普遍，不能包括所有非星形的立方曲线；见下文$S$一般场上的椭圆曲线。)
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数学代写|椭圆曲线代考Elliptic Curves代考|CM Elliptic Curve
Slightly more generally, we start with $\mathbb{G}_m$ over a $p$-adic integral local domain $B$ whose quotient field is $K$. This means that we regard the functor $\mathbb{G}_m$ as defined over the category of $B$-algebras (changing the base ring appears to be a trivial maneuver but has a strong impact on the structure of the corresponding scheme; see Sect. 4.1).
Take an algebraic closure $\bar{K}$ of $K$. We suppose that a prime $l$ is invertible in $B$ and $\mu_{l \infty}(\bar{K}) \subset B$ (that is, all $l$-power roots of unity in $\bar{K}$ are contained in $B)$. Fix a prime $l$ prime to the characteristic of $K$. Let $K\left(\mathbb{G}m\right)=K(t)$ be the rational function field of $\mathbb{G}_m=\operatorname{Spec}\left(B\left[t, t^{-1}\right]\right)$ [i.e., $K(t)$ is made up of $\frac{P(t)}{Q(t)}$ for all polynomials $\left.0 \neq Q(t), P(t) \in B[t]\right]$. Define a linear operator $U(l)$ acting on rational functions $\phi \in K(t)$ on $\mathbb{G}_m$ by $$ \phi \mid U(l)(t)=\frac{1}{l} \sum{\zeta \in \mu_l} \phi\left(\zeta t^{1 / l}\right)
$$
We call this operator the Hecke operator of the prime $l$.
The Hecke operator has the following geometric interpretation: We have the $l$-power group homomorphism $[l]: \mathbb{G}_m \rightarrow \mathbb{G}_m$ given by $x \mapsto x^l$. The map $[l]$ is actually an endomorphism of the functor $\mathbb{G}_m$. In this sense, it is essentially surjective $\left(\mathbb{G}_m\right.$ is a divisible group under fppf topology over $B$ in the geometric terminology in Sect. 4.1.10), as $s \in \mathbb{G}_m(A)$ is in the image of $[l]$ from $\mathbb{G}_m(A[\sqrt[l]{a}])$. Its kernel is the group $\mu_l$ of $l$ th roots of unity whose affine ring is a smaller ring $B[t] /\left(t^l-1\right)$ free of finite rank $l$ over $B$ (we call the rank $l$ the order of $\mu_l$; so $\mu_l$ has finite “order” $l$ ).
For the moment, take $B$ to be a field $K$. Then the affine ring $K\left[t, t^{-1}\right]$ of $\mathbb{G}{m / K}$ has infinite dimension as a $K$-vector space and has Krull dimension 1 as a ring, hence far bigger than the affine ring $K[t] /\left(t^l-1\right)$ of $\mu{N / K}$ which has dimension $l$ as $K$-vector space and Krull dimension 0 as a ring. In this sense, $\mu_N$ is “small” (see [CRT] Sect. 5 for Krull dimension).
Return to a general base ring $B$. Since $[l]$ is essentially surjective with small “finite” kernel, we call $[l]$ an isogeny. We will see later that $[l]$ is an étale isogeny if $l$ is invertible in $B$ (see Sect. 4.1.4 for the exact notion of étale map, but here “étale” basically means that for any maximal ideal $\mathfrak{m}$ of $B, B / \mathfrak{m}\left[\mu_l\right]$ is a separable extension of $B / \mathrm{m}$; see [CRT] Sect. 26 for separability). Then taking $t$ to be the variable on the target $\mathbb{G}_m$, we have $t^{1 / l}$ in the source $\mathbb{G}_m$. Then $\phi \circ[l]^{-1}=\phi\left(t^{1 / l}\right)$ is an element of the function field of the source $\mathbb{G}_m$, which is a degree- $l$ Kummer extension of the function field of the target $\mathbb{G}_m$.
数学代写|椭圆曲线代考Elliptic Curves代考|Invariant Differential Operators
Shimura studied the effect on modular forms of the following invariant differential operators on the upper half-complex plane $\mathfrak{H}$ indexed by $k \in \mathbb{Z}$ :
$\delta_k=\frac{1}{2 \pi \sqrt{-1}}\left(\frac{\partial}{\partial z}+\frac{k}{2 y \sqrt{-1}}\right)$ for $z=x+i y \in \mathfrak{H}$ and $\delta_k^r=\delta_{k+2 r-2} \cdots \delta_k$,
where $r \in \mathbb{Z}$ with $r \geq 0$. For some other properties of these operators not stated here, see [LFE] 10.1. Here are easy identities:
Exercise 1.26 Show the following formulas:
- $\delta_{k+l}(f g)=g \delta_k f+f \delta_l g$.
- For a holomorphic function $f: \mathfrak{H} \rightarrow \mathbb{C}, \delta_k^r\left(\left.f\right|k \alpha\right)=\left.\left(\delta_k^r f\right)\right|{k+2 r} \alpha$ if $\left.f\right|_k \alpha(z)=\operatorname{det}(\alpha)^{k / 2} f(\alpha(z))(c z+d)^{-k}$ for $\alpha=\left(\begin{array}{ll}a & b \ c & d\end{array}\right) \in G L_2(\mathbb{R})$ with $\operatorname{det}(\alpha)>0$
By the exercise, if $f \in G_k\left(\Gamma_1(N) ; \mathbb{C}\right), \delta_k^r(f)$ satisfies $\left.\delta_k^r(f)\right|_{k+2 r} \gamma=\delta_k^r(f)$ for all $\gamma \in \Gamma_1(N)$. Although $\delta_k^r(f)$ is not a holomorphic function, defining
$$
\delta_k^r(f)(w)=w_2^{-k-2 r} \delta_k^r(f)(z),
$$
we have a well-defined homogeneous modular form. In this sense, $\delta_k^r(f)$ is a real-analytic modular form on $\Gamma_1(N)$ of weight $k+2 r$.
椭圆曲线代考
数学代写|椭圆曲线代考Elliptic Curves代考|CM Elliptic Curve
更一般地说，我们从 $\mathbb{G}m$ 在…之上 $p$-adic 积分局域 $B$ 谁的商域是 $K$. 这意味着我们认为函子 $\mathbb{G} m$ 如定义在类别 $B-$ 代数（改变基环似 乎是一个微不足道的操作，但对相应方宧的结构有很大影响；见第 $4.1$ 节）。 取一个代数闭包 $\bar{K}$ 的 $K$. 我们假设一个质数 $l$ 是可逆的 $B$ 和 $\mu{l o}(\bar{K}) \subset B$ (就这些 $l-$ 团结的力量根源 $\bar{K}$ 包含在 $B$ ). 修复拜数 $l$ 拜数 的特征 $K$. 让 $K(\mathbb{G} m)=K(t)$ 是有理函数域 $\mathrm{G} m=\operatorname{Spec}\left(B\left[t, t^{-1}\right]\right)\left[\mathrm{IE}\right.$ 。 $K(t)$ 由。。制成由。。做成 $\frac{P(t)}{Q(t)}$ 对于所有多项 式 $0 \neq Q(t), P(t) \in B[t]]$. 定义线性算子 $U(l)$ 作用于有理函数 $\phi \in K(t)$ 上 $\mathbb{G} m$ 经过
$$
\phi \mid U(l)(t)=\frac{1}{l} \sum \zeta \in \mu_l \phi\left(\zeta t^{1 / l}\right)
$$
我们称这个算子为表数的 Hecke 算子 $l$.
Hecke 算子有以下几何解释: 我们有 $l$-龺群同态 $[l]: \mathbb{G}m \rightarrow \mathbb{G}_m$ 由 $x \mapsto x^l$. 地图 $[l]$ 实际上是函子的自同态 $\mathbb{G} m$. 从这个意义上 说，它本质上是满射的 ( $\mathbb{G}_m$ 是 fppf 拓扑下的可分群 $B$ 在 Sect. 的几何术语中。4.1.10)，作为 $s \in \mathbb{G}_m(A)$ 在图像中 $[l]$ 从 $\mathbb{G}_m(A[\sqrt[l]{a}])$. 它的内核是群 $\mu_l$ 的 $l$ 仿射环是较小环的单位根 $B[t] /\left(t^l-1\right)$ 不受有限等级限制 $l$ 超过 $B$ (我们称排名 $l$ 的顺序 $\mu_l$; 所 以 $\mu_l$ 有有限的”秩序” $l$ ). 目前，采取 $B$ 成为一个领域 $K$. 然后是仿射环 $K\left[t, t^{-1}\right]$ 的 $\mathrm{G} m / K$ 具有无限维度作为 $K$-向量空间并且具有 $\mathrm{Krull}$ 维度 1 作为环， 因此远大于仿射环 $K[t] /\left(t^l-1\right)$ 的 $\mu N / K$ 有维度 $l$ 作为 $K$-向量空间和 Krull 维度 0 作为环。在这个意义上， $\mu_N$ 是”小的”（请参 阅 [CRT] 第 5 节了解 Krull 维度)。 返回通用基环 $B$. 自从 $[l]$ 本质上是小“有限”内核的满射，我们称 $[l]$ 同种异体。我们稍后会看到 $[l]$ 是 etale 同源如果 $l$ 是可逆的 $B$ (有 关 étale 映射的确切概念，请参阅第 4.1.4 节，但这里的“étale”基本上意味着对于任何最大理想 $\mathfrak{m}$ 的 $B, B / \mathfrak{m}\left[\mu_l\right]$ 是的可分离扩展 函数域的一个元倩 $\mathbb{G}_m$ ，这是一个学位 $l l$ 目标函数域的 Kummer 扩展 $\mathbb{G}_m$.
数学他写|椭圆曲线代考Elliptic Curves代考|Invariant Differential Operators Shimura
研究了上半珞平面上下列不变微分算子对模形式的影响 $\mathfrak{H}$ 被索引 $\mid k \in \mathbb{Z}$ : $$ \delta_k=\frac{1}{2 \pi \sqrt{-1}}\left(\frac{\partial}{\partial z}+\frac{k}{2 y \sqrt{-1}}\right) \text { 为了 } z=x+i y \in \mathfrak{H} \text { 和 } \delta_k^r=\delta{k+2 r-2} \cdots \delta_k
$$
其中 $r \in \mathbb{Z}$ 和 $r \geq 0$. 对于此处末说明的这些运算符的其他一些属性，请参阅 [LFE] 10.1。以下是简单恒等式:
练习 $1.26$ 显示以下公式:
- $\delta_{k+l}(f g)=g \delta_k f+f \delta_l g$.
- 对于全纯函数 $f: \mathfrak{H} \rightarrow \mathbb{C}, \delta_k^r(f \mid k \alpha)=\left(\delta_k^r f\right) \mid k+2 r \alpha$ 如果 $\left.f\right|k \alpha(z)=\operatorname{det}(\alpha)^{k / 2} f(\alpha(z))(c z+d)^{-k{\text {为了 }}}$ $\alpha=\left(\begin{array}{lll}a & b c & d\end{array}\right) \in G L_2(\mathbb{R})$ 和det $(\alpha)>0$
通过练习，如果 $f \in G_k\left(\Gamma_1(N) ; \mathbb{C}\right), \delta_k^r(f)$ 满足 $\left.\delta_k^r(f)\right|_{k+2 r} \gamma=\delta_k^r(f)$ 对所有人 $\gamma \in \Gamma_1(N)$. 虽然 $\delta_k^r(f)$ 不是全纯函数，定义
$$
\delta_k^r(f)(w)=w_2^{-k-2 r} \delta_k^r(f)(z),
$$
我们有一个明确定义的同质模块化形式。在这个意义上， $\delta_k^r(f)$ 是 个实解析模形式 $\Gamma_1(N)$ 重量 $k+2 r$.
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。