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# 数学代写|超平面置换理论代写Hyperplane Arrangements代考|Math580A Proposition

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## 数学代写|超平面置换理论代写Hyperplane Arrangements代考| Proposition

Proposition 6.18. Let $R_0=R_{\mathrm{id}}$ as above. If $w \in \mathfrak{S}n$ then $d\left(R_0, R_w\right)=\ell(w)$. Moreover, $$D{\mathcal{B}_n}(t)=(1+t)\left(1+t+t^2\right) \cdots\left(1+t+\cdots+t^{n-1}\right) .$$
There is a somewhat different approach to Proposition $6.18$ which will be generalized to the Shi arrangement. We label each region $R$ of $\mathcal{B}_n$ recursively by a vector $\lambda(R)=\left(c_1, \ldots, c_n\right) \in \mathbb{N}^n$ as follows.

$\lambda\left(R_0\right)=(0,0, \ldots, 0)$

Let $e_i$ denote the $i$ th unit coordinate vector in $\mathbb{R}^n$. If the regions $R$ and $R^{\prime}$ of $\mathcal{B}_n$ are separated by the single hyperplane $H$ with the equation $x_i=x_j$, $i<j$, and if $R$ and $R_0$ lie on the same side of $H$, then $\lambda\left(R^{\prime}\right)=\lambda(R)+e_j$.
Figure 2 shows the labels $\lambda(R)$ for $\mathcal{B}_3$.
Proposition 6.19. Let $w \in \mathfrak{S}_n$. Then $\lambda\left(R_w\right)=\operatorname{IS}(w)$, the inversion sequence of $w$

## 数学代写|超平面置换理论代写Hyperplane Arrangements代考|Proof

Proof. The proof is a straightforward induction on $\ell(w)$. If $\ell(w)=0$, then $w=\mathrm{id}$ and
$$\lambda\left(R_{\mathrm{id}}\right)=\lambda\left(R_0\right)=(0,0, \ldots, 0)=\mathrm{IS}(\mathrm{id}) .$$
Suppose $w=a_1 \cdots a_n$ and $\ell(w)>0$. For some $1 \leq k \leq n-1$ we must have $a_k=j>i=a_{k+1}$. Thus $\ell\left(w s_k\right)=\ell(w)-1$. Hence by induction we may assume $\lambda\left(w s_k\right)=\operatorname{IS}\left(w s_k\right)$. The hyperplane $x_i=x_j$ separates $R_w$ from $R_{w s_k}$. Hence by the definition of $\lambda$ we have
$$\lambda\left(R_w\right)=\lambda\left(R_{w s_k}\right)+e_j=\operatorname{IS}\left(w s_k\right)+e_j$$

By the definition of the inversion sequence we have $\operatorname{IS}\left(w s_k\right)+e_j=\operatorname{IS}(w)$, and the proof follows.

NotE. The weak order $W_{\mathcal{B}n}$ of the braid arrangement is an interesting poset, usually called the weak order or weak Bruhat order on $\mathfrak{S}_n$. For instance $[\mathbf{1 4}][\mathbf{1 7}][\mathbf{3 0}]$, the number of maximal chains of $W{\mathcal{B}_n}$ is given by
$$\frac{\left(\begin{array}{l} n \ 2 \end{array}\right) !}{1^{n-1} 3^{n-2} 5^{n-3} \cdots(2 n-3)} .$$

## MATLAB代写

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