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# 数学代写|测度与积分代写Measure And Integration代考|BSMA2003 Sums of positive functions

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## 数学代写|测度与积分代写Measure And Integration代考|Sums of positive functions

Sums of positive functions. In this and the next few sections, let $X$ and $Y$ be two sets. We will write $\alpha \subset \subset X$ to denote that $\alpha$ is a finite subset of $X$.

Definition 2.6. Suppose that $a: X \rightarrow[0, \infty]$ is a function and $F \subset X$ is a subset, then
$$\sum_F a=\sum_{x \in F} a(x)=\sup \left{\sum_{x \in \alpha} a(x): \alpha \subset \subset F\right}$$
Remark 2.7. Suppose that $X=\mathbb{N}={1,2,3, \ldots}$, then
$$\sum_{\mathbb{N}} a=\sum_{n=1}^{\infty} a(n):=\lim {N \rightarrow \infty} \sum{n=1}^N a(n) .$$
Indeed for all $N, \sum_{n=1}^N a(n) \leq \sum_{\mathbb{N}} a$, and thus passing to the limit we learn that
$$\sum_{n=1}^{\infty} a(n) \leq \sum_{\mathbb{N}} a$$
Conversely, if $\alpha \subset \subset \mathbb{N}$, then for all $N$ large enough so that $\alpha \subset{1,2, \ldots, N}$, we have $\sum_\alpha a \leq \sum_{n=1}^N a(n)$ which upon passing to the limit implies that
$$\sum_\alpha a \leq \sum_{n=1}^{\infty} a(n)$$
and hence by taking the supremum over $\alpha$ we learn that
$$\sum_{\mathbb{N}} a \leq \sum_{n=1}^{\infty} a(n)$$

## 数学代写|测度与积分代写Measure And Integration代考|Sums of complex functions

Definition 2.13. Suppose that $a: X \rightarrow \mathbb{C}$ is a function, we say that
$$\sum_X a=\sum_{x \in X} a(x)$$
exists and is equal to $A \in \mathbb{C}$, if for all $\epsilon>0$ there is a finite subset $\alpha_\epsilon \subset X$ such that for all $\alpha \subset \subset X$ containing $\alpha_\epsilon$ we have
$$\left|A-\sum_\alpha a\right| \leq \epsilon .$$
Definition $2.14$ (Summable). We call a function $a: X \rightarrow \mathbb{C}$ summable if
$$\sum_X|a|<\infty .$$
Proposition 2.15. Let $a: X \rightarrow \mathbb{C}$ be a function, then $\sum_X$ a exists iff $\sum_X|a|<\infty$, i.e. iff $a$ is summable.

Proof. If $\sum_X|a|<\infty$, using Remarks $2.12$ we may choose an increasing sequence of finite subsets $\alpha_n$ of $X$, such that $$\sum_X|a| \geq \sum_{\alpha_n}|a| \geq \sum_X|a|-1 / n \forall n .$$ Letting $S_n:=\sum_{\alpha_n} a$ we have for $m>n$
\begin{aligned} \left|S_m-S_n\right| & =\left|\sum_{\alpha_m \backslash \alpha_n} a\right| \leq \sum_{\alpha_m \backslash \alpha_n}|a| \ & =\sum_{\alpha_m}|a|-\sum_{\alpha_n}|a| \ & \leq\left|A-\sum_{\alpha_m}\right| a||+\left|A-\sum_{\alpha_n}\right| a|| \ & \leq \frac{1}{m}+\frac{1}{n} \end{aligned}
which tends to 0 as $m, n \rightarrow \infty$. Thus $\left{S_m\right}$ is a Cauchy sequence and we let $A:=\lim _{m \rightarrow \infty} S_m \cdot{ }^2$ Letting $m \rightarrow \infty$ in the previous equation also shows that
$$\left|A-S_n\right| \leq \frac{1}{n}$$

## 数学代写测度与积分代写Measure And Integration代考|Sums of positive functions

\left 缺少或无法识别的分隔符

$$\sum_{\mathbb{N}} a=\sum_{n=1}^{\infty} a(n):=\lim N \rightarrow \infty \sum n=1^N a(n) .$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} a(n) \leq \sum_{\mathbb{N}} a$$

$$\sum_\alpha a \leq \sum_{n=1}^{\infty} a(n)$$

$$\sum_{\mathbb{N}} a \leq \sum_{n=1}^{\infty} a(n)$$

## 数学代写|测度与积分代写Measure And Integration代考|Sums of complex functions

$$\sum_X a=\sum_{x \in X} a(x)$$

$$\left|A-\sum_\alpha a\right| \leq \epsilon$$

$$\sum_X|a|<\infty .$$ 提案 2.15。让 $a: X \rightarrow \mathbb{C}$ 是一个函数，那么 $\sum_X$ 存在当且仅当 $\sum_X|a|<\infty$ ，即当且仅当 $a$ 是可总结的。 证明。如果 $\sum_X|a|<\infty$ ，使用备注 $2.12$ 我们可以选择一个递增的有限子堆序列 $\alpha_n$ 的 $X$ ，这样 $$\sum_X|a| \geq \sum_{\alpha_n}|a| \geq \sum_X|a|-1 / n \forall n .$$ 出租 $S_n:=\sum_{\alpha_n} a$ 我们有 $m>n$
$$\left|S_m-S_n\right|=\left|\sum_{\alpha_m \backslash \alpha_n} a\right| \leq \sum_{\alpha_m \backslash \alpha_n}|a| \quad=\sum_{\alpha_m}|a|-\sum_{\alpha_n}|a| \leq\left|A-\sum_{\alpha_m}\right| a||+\left|A-\sum_{\alpha_n}\right| a|| \quad \leq \frac{1}{m}+\frac{1}{n}$$

$$\left|A-S_n\right| \leq \frac{1}{n}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。