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# 数学代写|测度与积分代写Measure And Integration代考|MATH30360 Construction of measures on a simple product space

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## 数学代写|测度与积分代写Measure And Integration代考|Construction of measures on a simple product space

Exercise 6.11. Let $Y \equiv{0,1}^{\mathbb{N}}$ (the set of sequences $y=\left(y_1, y_2, \ldots\right.$ ) with $y_i \in$ $X \equiv{0,1}, Y_n \equiv{0,1}^n$ for all $n \in \mathbb{N}$, and $\pi_n: Y \rightarrow Y_n$ be defined by $\pi_n(y)=$ $\left(y_1, y_2, \ldots, y_n\right) . \mathcal{A}$ denote the collection of “cylinder sets” in $Y$, i.e. sets of the form
$$A=\pi_n^{-1}(C) \text { where } n \in \mathbb{N} \text { and } C \subset Y_n \text {. }$$
In words a cylinder set is a subset of $Y$ which is determined by restricting the values of only a finite number of coordinates of $y \in Y$. For example $A \equiv\left{y \in Y: y_{2 i}=\right.$ 0 for $i \in N}$ is not a cylinder set.

a) Show that $\mathcal{A}$ is an algebra.
b) Show that if $A_n \in \mathcal{A}$ and $A_n \downarrow \emptyset$ then $A_n=\emptyset$ for all $n$ sufficiently large.
c) Conclude that any finitely additive measure $\mu_0$ on $\mathcal{A}$ is a premeasure.

## 数学代写|测度与积分代写Measure And Integration代考|Product Spaces

Product Spaces. The reader who finds this section a little too heavy may wish to first read Appendix $7.4$ below where the most important special cases are covered. The material in this subsection before Corollary $7.28$ may then be skipped on the first reading.

Definition 7.20. Let $X$ and $A$ be sets, and suppose for $\alpha \in A$ we are give a measurable (topological) space $\left(Y_\alpha, \mathcal{F}\alpha\right)$ and a function $f\alpha: X \rightarrow Y_\alpha$. We will write $\sigma\left(f_\alpha: \alpha \in A\right)\left(\tau\left(f_\alpha: \alpha \in A\right)\right)$ for the smallest $\sigma$-algebra (topology) on $X$ such that each $f_\alpha$ is measurable (continuous), i.e.
\begin{aligned} & \sigma\left(f_\alpha: \alpha \in A\right)=\sigma\left(\cup_\alpha f_\alpha^{-1}\left(\mathcal{F}\alpha\right)\right) \text { and } \ & \tau\left(f\alpha: \alpha \in A\right)=\tau\left(\cup_\alpha f_\alpha^{-1}\left(\mathcal{F}\alpha\right)\right) . \end{aligned} Proposition 7.21. Assuming the notation in Definition 7.20 and additionally let $(Z, \mathcal{M})$ be a measurable (topological) space and $g: Z \rightarrow X$ be a function. Then $g$ is $\left(\mathcal{M}, \sigma\left(f\alpha: \alpha \in A\right)\right)$ – measurable $\left(\left(\mathcal{M}, \tau\left(f_\alpha: \alpha \in A\right)\right)\right.$ – continuous) iff $f_\alpha \circ g$ is $\left(\mathcal{M}, \mathcal{F}_\alpha\right)$-measurable (continuous) for all $\alpha \in A$.

Proof. $(\Rightarrow)$ If $g$ is $\left(\mathcal{M}, \sigma\left(f_\alpha: \alpha \in A\right)\right)$ – measurable, then the composition $f_\alpha \circ g$ is $\left(\mathcal{M}, \mathcal{F}\alpha\right)$ – measurable by Lemma 7.6. $(\Leftarrow)$ Let $$\mathcal{G}=\sigma\left(f\alpha: \alpha \in A\right)=\sigma\left(\cup_{\alpha \in A} f_\alpha^{-1}\left(\mathcal{F}_\alpha\right)\right)$$

## 数学代写|测度与积分代写Measure And Integration代考|Construction of measures on a simple product space

$$A=\pi_n^{-1}(C) \text { where } n \in \mathbb{N} \text { and } C \subset Y_n \text {. }$$

〈left 缺少或无法识别的分隔符 不是圆柱体组。
a) 表明 $\mathcal{A}$ 是一个代数。
b) 证明如果 $A_n \in \mathcal{A}$ 和 $A_n \downarrow \emptyset$ 然后 $A_n=\emptyset$ 对所有人 $n$ 足够大。
c) 得出结论，任何有限加法测度 $\mu_0$ 上 $\mathcal{A}$ 是一种预防措施。

## 数学代写测度与积分代写Measure And Integration代考|Product Spaces

$$\sigma\left(f_\alpha: \alpha \in A\right)=\sigma\left(\cup_\alpha f_\alpha^{-1}(\mathcal{F} \alpha)\right) \text { and } \quad \tau(f \alpha: \alpha \in A)=\tau\left(\cup_\alpha f_\alpha^{-1}\left(\mathcal{F}\alpha\right)\right) .$$ 提䅁 7.21。假设定义 $7.20$ 中的符号，另外让 $(Z, \mathcal{M}$ ) 是一个可测量的 (拓扑) 空间并且 $g: Z \rightarrow X$ 成为一个函数。然后 $g$ 是 $(\mathcal{M}, \sigma(f \alpha: \alpha \in A))$ – 可衡量的 $\left(\left(\mathcal{M}, \tau\left(f\alpha: \alpha \in A\right)\right)\right.$ – 连续的) 当且仅当 $f_\alpha \circ g$ 是 $\left(\mathcal{M}, \mathcal{F}\alpha\right)$ – 对所有人都是可测量的 (连 续的) $\alpha \in A$. 证明。 $(\Rightarrow)$ 如果 $g$ 是 $\left(\mathcal{M}, \sigma\left(f\alpha: \alpha \in A\right)\right)$ – 可测量，然后是组成 $f_\alpha \circ g$ 是 $(\mathcal{M}, \mathcal{F} \alpha)$ – 可由引理 $7.6$ 测量。( $\left.\Leftarrow\right)$ 让
$$\mathcal{G}=\sigma(f \alpha: \alpha \in A)=\sigma\left(\cup_{\alpha \in A} f_\alpha^{-1}\left(\mathcal{F}_\alpha\right)\right)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。