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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Math4120 Subfields of a Finite Field

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Subfields of a Finite Field

Theorem $21.1$ gives us a complete description of all finite fields. The following theorem gives us a complete description of all the subfields of a finite field. Notice the close analogy between this theorem and Theorem 4.3, which describes all the subgroups of a finite cyclic group.
Theorem 21.11 Subfields of a Finite Field
For each divisor $m$ of $n, \operatorname{GF}\left(p^n\right)$ has a unique subfield of order $p^m$. Moreover, these are the only subfields of $\mathrm{GF}\left(p^n\right)$.

PROOF To show the existence portion of the theorem, suppose that $m$ divides $n$. Then, since
$$p^n-1=\left(p^m-1\right)\left(p^{n-m}+p^{n-2 m}+\cdots+p^m+1\right),$$
we see that $p^m-1$ divides $p^n-1$. For simplicity, write $p^n-1=\left(p^m-1\right)$. Let $K=\left{x \in \operatorname{GF}\left(p^n\right) \mid x^{p^m}=x\right}$. We leave it as an easy exercise for the reader to show that $K$ is a subfield of $\mathrm{GF}\left(p^n\right)$ (Exercise 37). Since the polynomial $x^{p^m}-x$ has at most $p^m$ zeros in $\operatorname{GF}\left(p^n\right)$, we have $|K| \leq p^m$. Let $\langle a\rangle=\operatorname{GF}\left(p^n\right)^*$. Then $\left|a^t\right|=p^m-1$, and since $\left(a^t\right)^{p^{m-1}}=1$ , it follows that $a^t \in K$. So, $K$ is a subfield of $\operatorname{GF}\left(p^n\right)$ of order $p^m$.

The uniqueness portion of the theorem follows from the observation that if $\operatorname{GF}\left(p^n\right)$ had two distinct subfields of order $p^m$, then the polynomial $x^{p^m}-x$ would have more than $p^m$ zeros in $\mathrm{GF}\left(p^n\right)$. This contradicts Theorem 16.3.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Degrees of Irreducible Factors of $x^{p^n}-x$ over $Z_p$

The degree of an irreducible factor of $x^{p^n}-x$ over $Z_p$ divides $n$.
PROOF If $g(x)$ is an irreducible factor of $x^{p^n}-x$ over $Z_p$ with degree $d$ and $a \in \operatorname{GF}\left(p^n\right)$ is a zero of $g(x)$, then $\left|Z_p(a)\right|=p^d$. So, $d$ is a divisor of $n$.
I EXAMPLE 14 Let’s look at the irreducible factorization of $x^{16}-x$ used to construct GF(16). Obviously, $\mathrm{x}$ and $x-1$ are factors. By the corollary of Theorem $21.3$ the other irreducible factors of $x^{16}-x$ have degrees 2 or 4 . Fortunately, it is possible to determine these factors without resorting to long division. Since $x^{16}-x$ has no multiple zeros in GF (16), it has no irreducible factors with multiplicity greater than 1 . Because the sum of the degrees of the nonlinear irreducible factors of $x^{16}-x$ must be 14 , and 14 is not a multiple of 4 , not the irreducible factors can be quartics. Noting that the only irreducible quadratic over $Z_2$ is $x^2+x+1$, we know the irreducible factorization consist of it and three quartics. Finally, we observe that any quartic irreducible factor must begin with $x^4$, end with 1 , and have an odd number of terms in between (otherwise, 1 would be a zero). So, the remaining irreducibles factors must be $x^4+x+1, x^4+x^2+1$, and $x^4+x^3+x^2+x+1$ because these are only possibilities that meet the two stated necessary conditions.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Subfields of a Finite Field

$$p^n-1=\left(p^m-1\right)\left(p^{n-m}+p^{n-2 m}+\cdots+p^m+1\right),$$

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Degrees of Irreducible Factors of $x^{p^n}-x$

। 示例 14 让我们看一下不可约分解 $x^{16}-x$ 用于构建 $\mathrm{GF}(16)$ 。明显地， $\mathrm{x}$ 和 $x-1$ 是因䋤。由定理的堆论 $21.3$ 其他不可減少的因溸 $x^{16}-x$ 有学位 2 或 4 。幸运的是，无需求助于长除去就可以确定这些因售。自从 $x^{16}-x$ 在 $\mathrm{GF}$ (16) 中没有多个零点，它没有重 数大于 1 的不可约因子。因为非线性不可约因子的度数之和 $x^{16}-x$ 必须是 14 ，并且 14 不是 4 的倍数，不可约因子可以是四次。 注意到唯一不可约的二次方 $Z_2$ 是 $x^2+x+1$ ，我们知道不可约分解由它和三个四次方程组成。最后，我们观寮到任何四次不可约 因子必须以 $x^4$ ，以 1 结尾，并且中间有奇数项（否则，1 将为零)。因此，剩余的不可约因㨞必须是 $x^4+x+1, x^4+x^2+1$ ， 和 $x^4+x^3+x^2+x+1$ 因为这些只是满足两个规定的必要条件的可能性。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。