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# 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|MAST90097 Nullstellensatz

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## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Nullstellensatz

‘Nullstellensatz’ is a German term translated literally as ‘Zero places theorem’. It is associated with a problem first identified in Chapter 3: given an ideal $I \subset k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ defining a variety $V(I)$, what are the polynomials vanishing on $V(I)$ ? Generally, we have the inclusion (cf. Exercise 3.3)
$$I(V(I)) \supset I .$$
When does equality hold? Where there is a strict inclusion, can we obtain $I(V(I))$ directly from $I$ ?
Raising a polynomial to a power does not change where it vanishes, i.e.,
$$V(f)=V\left(f^N\right)$$
for each $N \geq 1$. A general definition will help us utilize this fact:
Definition 7.1 The radical of an ideal $I$ in a ring $R$ is defined
$$\sqrt{I}=\left{g \in R: g^N \in I \text { for some } N \in \mathbb{N}\right} \text {. }$$
An ideal $J$ is said to be radical if $\sqrt{J}=J$.
The reader should verify that $\sqrt{I}$ is automatically an ideal (see Exercise 7.3). Our observation then translates into the following result:
Proposition 7.2 If $I \subset k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ is an ideal then
$$\sqrt{I} \subset I(V(I)) .$$
Proof For each $f \in \sqrt{I}$, there exists an $N \gg 0$ such that $f^N \in I$. We have
$$V(f)=V\left(f^N\right) \supset V(I),$$
hence $f$ vanishes over $V(I)$.

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Statement of the Nullstellensatz

Theorem 7.3 (Hilbert Nullstellensatz) If $k$ is algebraically closed and $I \subset$ $k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ is an ideal then $I(V(I))=\sqrt{I}$.

In other words, given a function vanishing at each point of a variety, some power of that function can be written in terms of the defining equations for the variety.

Example 7.4 The relationship between $\sqrt{I}$ and $I(V(I))$ is still quite subtle over nonclosed fields. Consider
$$I=\left\langle x^{2 n}+y^{2 n}+1\right\rangle \subset \mathbb{R}[x, y]$$
so that
$$\emptyset=V(I) \subset \mathbb{A}^2(\mathbb{R})$$
and $I(V(I))=\mathbb{R}[x, y]$. On the other hand, $\sqrt{I} \subsetneq \mathbb{R}[x, y]$. Indeed, if $\sqrt{I}=\mathbb{R}[x, y]$ then $1 \in \sqrt{I}$, which would imply that $1 \in I$, a contradiction. Thus we have
$$\sqrt{I} \subsetneq I(V(I)) .$$
Here is another very useful statement also known as the Nullstellensatz:
Theorem 7.5 (Nullstellensatz II) Let $k$ be algebraically closed and $I=$ $\left\langle f_1, \ldots, f_r\right\rangle \subset k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$. Then either

1. $I=k\left[x_1, \ldots, x_n\right] ;$ or
2. there exists a common solution $\left(a_1, \ldots, a_n\right)$ for the system
$$f_1=f_2=\ldots=f_r=0 .$$
In other words, over an algebraically closed field every consistent system of polynomials has a solution. Of course, an inconsistent system has no solutions over any field: if $f_1, \ldots, f_r$ have a common zero then $\left\langle f_1, \ldots, f_r\right\rangle$ does not contain 1 and
$$\left\langle f_1, \ldots, f_r\right\rangle \subsetneq k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$$

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Nullstellensatz

“Nullstellensatz”是一个德语术语，直译为“零位定理”。它与第 3 章中首次发现的问题相关: 给定一个理想 $I \subset k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ 定义一个品种 $V(I)$ ，消失的㝖项式是什么 $V(I)$ ? 通常，我们有包含（参见练习 3.3)
$$I(V(I)) \supset I .$$

$$V(f)=V\left(f^N\right)$$

\left 缺少或无法识别的分隔符

$$\sqrt{I} \subset I(V(I)) .$$

$$V(f)=V\left(f^N\right) \supset V(I),$$

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Statement of the Nullstellensatz

$$I=\left\langle x^{2 n}+y^{2 n}+1\right\rangle \subset \mathbb{R}[x, y]$$

$$\emptyset=V(I) \subset \mathbb{A}^2(\mathbb{R})$$

$$\sqrt{I} \subsetneq I(V(I))$$

1. $I=k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$;或者
2. 存在一个共同的解决方宲 $\left(a_1, \ldots, a_n\right)$ 对于系统
$$f_1=f_2=\ldots=f_r=0 .$$
换句话说，在代数封闭域上，每个一致的多项式系统都有一个解。当然，一个不一致的系统在任何领域都没有解决方案: 如 果 $f_1, \ldots, f_r$ 那么有一个共同的零 $\left\langle f_1, \ldots, f_r\right\rangle$ 不包含 1 和
$$\left\langle f_1, \ldots, f_r\right\rangle \subsetneq k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$$

## MATLAB代写

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