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# 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH420/820 Alternating Multilinear Forms. Determinants

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## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Alternating Multilinear Forms. Determinants

Definition (3.8.1). – Let A be a commutative ring, let $\mathrm{M}$ and $\mathrm{N}$ be Amodules, let $p$ be a positive integer. A map $f: \mathrm{M}^p \rightarrow \mathrm{N}$ is said to be multilinear, or $p$-linear, if it is linear with respect to each variable: for every $\left(m_1, \ldots, m_p\right) \in \mathbf{M}^p$, the map $m \mapsto f\left(m_1, \ldots, m_{i-1}, m, m_{i+1}, \ldots, m_p\right)$ is A-linear.

When $\mathrm{N}=\mathrm{A}$, a $p$-linear map from $\mathrm{M}$ to $\mathrm{A}$ is called a $p$-linear form. One also says bilinear for $p=2$, trilinear for $p=3 \ldots$

Definition (3.8.2). – Let A be a commutative ring, let $\mathrm{M}$ and $\mathrm{N}$ be $\mathrm{A}-$ modules, let $p$ be a positive integer and let $f: \mathrm{M}^p \rightarrow \mathrm{N}$ be a multilinear map.

(i) One says that $f$ is symmetric if, for every permutation $\sigma \in \mathbb{S}p$ and every $\left(m_1, \ldots, m_p\right) \in \mathbf{M}^p$, one has $$f\left(m{\sigma(1)}, \ldots, m_{\sigma(p)}\right)=f\left(m_1, \ldots, m_p\right) .$$
(ii) One says that $f$ is antisymmetric if, for every permutation $\sigma \in \Xi_p$ and every $\left(m_1, \ldots, m_p\right) \in \mathrm{M}^p$, one has
$$f\left(m_{\sigma(1)}, \ldots, m_{\sigma(p)}\right)=\varepsilon(\sigma) f\left(m_1, \ldots, m_p\right),$$
where $\varepsilon(\sigma) \in{\pm 1}$ is the signature of $\sigma$.
(iii) One says that $f$ is alternating if for every $\left(m_1, \ldots, m_p\right) \in \mathrm{M}^p$ for which there exist $i \neq j$ such that $m_i=m_j$, one has $f\left(m_1, \ldots, m_p\right)=0$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Fitting Ideals

3.9.1. – Let A be a commutative ring. For every matrix $U \in \operatorname{Mat}_{n, m}(\mathrm{~A})$ and every positive integer $p$, let us denote by $\Delta_p(U)$ the ideal of A generated by the determinants of all $p \times p$ matrices extracted from $U$. We also write this ideal as $\Delta_p\left(u_1, \ldots, u_m\right)$, where $u_1, \ldots, u_m \in \mathrm{A}^n$ are the columns of $U$. It will be convenient to call any determinant of a $p \times p$ matrix extracted from $U$ a minor of size $p$ of $U$. By Laplace expansion of determinants, a minor of size $p$ is a linear combination of minors of size $p-1$. This implies that $\Delta_p(U) \subset \Delta_{p-1}(U)$ for every $p$. If $p>\inf (m, n)$, then $\Delta_p(U)=0$. One also has $\Delta_0(U)=A$ (the determinant of a $0 \times 0$ matrix is equal to 1 ); for simplicity of notation, we also set $\Delta_p(U)=$ A for $p<0$.

Example (3.9.2). — Let $D=\operatorname{diag}\left(d_1, \ldots, d_{\min (n, m)}\right) \in \operatorname{Mat}{n, m}(\mathrm{~A})$ be a “diagonal matrix”, by which we mean that all of its coefficients are zero, unless their row and column indices are equal. Assume moreover that $d_i$ divides $d{i+1}$ for every integer $i$ such that $1 \leq i<\min (n, m)$. For any integer $p \in{0, \ldots, \min (n, m)}$, the ideal $\Delta_p(D)$ is generated by the product $d_1 \ldots d_p$. Let $\mathrm{I} \subset{1, \ldots, n}$ and $\mathrm{J} \subset{1, \ldots, m}$ be two subsets of cardinality $p$, let $D_{\mathrm{IJ}}=\left(d_{i, j}\right){\substack{i \in \mathrm{I} \ j \in \mathrm{J}}}$ be the matrix obtained by extracting from $D$ the rows whose indices belong to I and the columns whose indices belong to $\mathrm{J}$. Assume that $\mathrm{I} \neq \mathrm{J}$ and let us show that $\operatorname{det}\left(D{\mathrm{IJ}}\right)=0$. Indeed, $\operatorname{det}\left(D_{\mathrm{II}}\right)$ is a sum of products $d_{i_1, j_1} \ldots d_{i_p, j_p}$ (with signs), where $\mathrm{I}=\left{i_1, \ldots, i_p\right}$ and $\mathrm{J}=\left{j_1, \ldots, j_p\right}$. Since $\mathrm{I} \neq \mathrm{J}$, there must be an index $k$ such that $i_k \neq j_k$, so that $d_{i_k, j_k}=0$. However, if $\mathrm{I}=\mathrm{J}$, one such product is $\prod_{i \in \mathrm{I}} d_i$, and all other vanish. By the divisibility assumption on the diagonal entries of $D$, we see that all minors of size $p$ of $\mathrm{M}$ are divisible by $d_1 \ldots d_p$, and that $d_1 \ldots d_p$ is one such minor (namely, for $\mathrm{I}=\mathrm{J}={1, \ldots, p})$. Consequently, $\Delta_p(D)=\left(d_1 \ldots d_p\right)$.

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(i) 有人说 $f$ 是对称的，如果，对于每个排列 $\sigma \in \mathbb{S} p$ 每一个 $\left(m_1, \ldots, m_p\right) \in \mathbf{M}^p$ ，一个有
$$f\left(m \sigma(1), \ldots, m_{\sigma(p)}\right)=f\left(m_1, \ldots, m_p\right) .$$
(ii) 有人说 $f$ 是反对称的，如果对于每个排列 $\sigma \in \Xi_p$ 每一个 $\left(m_1, \ldots, m_p\right) \in \mathrm{M}^p$ ，个有
$$f\left(m_{\sigma(1)}, \ldots, m_{\sigma(p)}\right)=\varepsilon(\sigma) f\left(m_1, \ldots, m_p\right),$$

(iii) 有人说 $f$ 如果对于每个 $\left(m_1, \ldots, m_p\right) \in \mathrm{M}^p$ 为此存在 $i \neq j$ 这样 $m_i=m_j$ 一个有 $f\left(m_1, \ldots, m_p\right)=0$.

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3.9.1. – 设 A 为交换环。对于每个矩阵 $U \in \operatorname{Mat}{n, m}(\mathrm{~A})$ 和每个正整数 $p$, 让我们用 $\Delta_p(U)$ 由所有的决定因䋤产生的 A 的理想 $p \times p$ 从中提取的矩阵 $U$. 我们也把这个理想写成 $\Delta_p\left(u_1, \ldots, u_m\right)$ ，在哪里 $u_1, \ldots, u_m \in \mathbf{A}^n$ 是列 $U$. 将 $\mathrm{a}$ 的任何行列式称为 $p \times p$ 从中提取的矩阵 $U$ 末成年人 $p$ 的 $U$. 通过行列式的拉普拉斯展开，尺寸较小 $p$ 是大小末成年人的线性组合 $p-1$. 这意味着 $\Delta_p(U) \subset \Delta{p-1}(U)$ 每一个 $p$. 如果 $p>\inf (m, n)$ ，然后 $\Delta_p(U)=0$. 一个也有 $\Delta_0(U)=A($ (a的决定因溸 $0 \times 0$ 矩转等于 1)； 为了符号的简单性，我们还设置 $\Delta_p(U)=$ 个为 $p<0$.

$p \in 0, \ldots, \min (n, m)$ ，理想 $\Delta_p(D)$ 由产品产生 $d_1 \ldots d_p$. 让 $\mathrm{I} \subset 1, \ldots, n$ 和 $\subset \subset 1, \ldots, m$ 是其数的两个子集 $p ，$ 让 $D_{\mathrm{JJ}}=\left(d_{i, j}\right) i \in \mathrm{I} j \in \mathrm{J}$ 是从中提取的矩阵 $D$ 索引属于 I 的行和索引属于的列J. 假使，假设 $\mathrm{I} \neq \mathrm{J}$ 让我们证明det $(D \mathrm{IJ})=0$. 的确， $\operatorname{det}\left(D_{\text {II) }}\right.$ 是乘积之和 $d_{i_1, j_1} \ldots d_{i_p j_p}$ (有标志)，其中 left 缺少或无法识别的分隔符 $\quad$ 和
\eft 缺少或无法识别的分隔符 $\quad$. 自从 $\mathrm{I} \neq \mathrm{J}$ ，必须有一个索引 $k$ 这样 $i_k \neq j_k$ ， 以便 $d_{i_k j_k}=0$. 然而，如果I $=\mathrm{J}$ ，一个这样的产品是 $\prod_{i \in \mathrm{I}} d_i$ ，其他的都陗失了。通过对角线项的可分性假设 $D$ ，我们看到所有大小的末成年人 $p$ 的 $\mathrm{M}$ 被整除 $d_1 \ldots d_p$ ，然后 $d_1 \ldots d_p$ 是一个这样的末成年人 (即，对于 $\left.\mathrm{I}=\mathrm{J}=1, \ldots, p\right)$. 最后， $\Delta_p(D)=\left(d_1 \ldots d_p\right)$.

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。