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# 物理代写|电磁学代写Electromagnetism代考|PHYS122 Inductors in an AC Circuit

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## 物理代写|电磁学代写Electromagnetism代考|Inductors in an AC Circuit

In Fig. 10.20, an inductor in the AC circuit is shown. The voltage drop across the inductor equals the electric voltage between $a$ and $b$ endpoints: $V_{a b}=\Delta V_L$. On the other hand, the self-induced voltage across the inductor is given as
$$\Delta V_L \equiv \epsilon_L=-L \frac{d i_L}{d t}$$
Using Kirchhoff’s law:
$$\Delta V+\Delta V_L=0$$
and thus
$$V_0 \sin (\omega t)=\Delta V=-\Delta V_L=L \frac{d i_L}{d t}$$
From Eq. (10.135), we find that

\begin{aligned} i_L(t) & =\int \frac{V_0}{L} \sin (\omega t) d t \ & =-\frac{V_0}{L \omega} \cos (\omega t) \ & =\frac{V_0}{L \omega} \sin \left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right) \end{aligned}
where the trigonometric relation $\cos \phi=-\sin (\phi-\pi / 2)$ is used. Comparing the expression given by Eq. (10.136) with the general form of $i_L$ :
$$i_L(t)=I_0 \sin (\omega t \pm \phi)$$
we write that
$$I_0=\frac{V_0}{L \omega} \equiv \frac{V_0}{X_L}$$
where
$$X_L=L \omega$$
is the so-called inductive reactance .

## 物理代写|电磁学代写Electromagnetism代考|Mutual Inductance

Consider a capacitor in an AC circuit, as shown in Fig. 10.22. The output voltage of the $\mathrm{AC}$ generator is
$$\Delta V=V_0 \sin (\omega t)$$
The instantaneous voltage across the capacitor is
$$\Delta V_C=V_{a b}$$
Applying Kirchhoff’s law, we write
$$\Delta V_C=\Delta V=V_0 \sin (\omega t)$$
Using the following relationship:
$$C=\frac{q}{\Delta V_C}$$
Alternatively, the instantaneous charge in the capacitor is
$$q=C \Delta V_C$$
and furthermore we have the instantaneous current as

\begin{aligned} i_C=\frac{d q}{d t}=C \frac{d}{d t}\left(\Delta V_C\right) & =C \frac{d}{d t}(\Delta V) \ & =C V_0 \omega \cos (\omega t) \ & =C V_0 \omega \sin \left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right) \end{aligned}
Hence, we obtain
$$i_C=I_0 \sin \left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),$$
where
$$I_0=V_0(C \omega) \equiv \frac{V_0}{X_C}$$
where
$$X_C=\frac{1}{C \omega}$$
is the so-called capacitive reactance.

## 物理代写|电磁学代写Electromagnetism代考|Inductors in an AC Circuit

$$\Delta V_L \equiv \epsilon_L=-L \frac{d i_L}{d t}$$

$$\Delta V+\Delta V_L=0$$

$$V_0 \sin (\omega t)=\Delta V=-\Delta V_L=L \frac{d i_L}{d t}$$

$$i_L(t)=\int \frac{V_0}{L} \sin (\omega t) d t \quad=-\frac{V_0}{L \omega} \cos (\omega t)=\frac{V_0}{L \omega} \sin \left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)$$

$$i_L(t)=I_0 \sin (\omega t \pm \phi)$$

$$I_0=\frac{V_0}{L \omega} \equiv \frac{V_0}{X_L}$$

$$X_L=L \omega$$

## 物理代写|电磁学代写Electromagnetism代考|Mutual Inductance

$$\Delta V=V_0 \sin (\omega t)$$

$$\Delta V_C=V_{a b}$$

$$\Delta V_C=\Delta V=V_0 \sin (\omega t)$$

$$C=\frac{q}{\Delta V_C}$$

$$i_C=\frac{d q}{d t}=C \frac{d}{d t}\left(\Delta V_C\right)=C \frac{d}{d t}(\Delta V) \quad=C V_0 \omega \cos (\omega t)=C V_0 \omega \sin \left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)$$

$$i_C=I_0 \sin \left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),$$

$$I_0=V_0(C \omega) \equiv \frac{V_0}{X_C}$$

$$X_C=\frac{1}{C \omega}$$

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