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# 物理代写|电磁学代写Electromagnetism代考|Phys132 Vector Potential

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## 物理代写|电磁学代写Electromagnetism代考|Vector Potential

We return to Biot-Savart law, and rewrite it as follows (refer also to Fig. 8.14):

$$\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \nabla \times \int_V \frac{\mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|} d \mathbf{r}^{\prime}$$
where we have used that
$$\nabla\left(\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}\right)=-\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|^3}$$
and
$$\frac{I d \mathbf{s} \times \hat{\mathbf{r}}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|^2}=-d \mathbf{r}^{\prime} \frac{\left(\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right) \times \mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|^3}$$
where $d V=d \mathbf{r}^{\prime}$ is a small volume element, as indicated in Fig. 8.14. We can now introduce a vector potential of the magnetic field as
$$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4 \pi} \int_V \frac{\mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|} d \mathbf{r}^{\prime}$$
and the magnetic field can be written as
$$\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r})$$

## 物理代写|电磁学代写Electromagnetism代考|Multipole Expansion

Equation (8.66) gives the vector potential of the magnetic field in terms of the current density $\mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)$ in a localized finite volume $V$. Furthermore, $\mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)$ is zero outside the volume. Suppose that we are interested on finding $A$ outside that volume. For that, similar to scalar potential in electrostatics, we expand the term $1 /\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|$ around $\mathbf{r}^{\prime}=0$ using Taylor expansion, as given by Eq. (3.50) (Chap. 3).
Assuming that $|\mathbf{r}| \gg\left|\mathbf{r}^{\prime}\right|$, we can rewrite Eq. (8.66) as follows:

$$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4 \pi} \int_V \mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\left(\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}^{\prime} \cdot \mathbf{r}}{r^3}+\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^3 \frac{3 x_i^{\prime} x_j^{\prime}-\delta_{i j}\left(r^{\prime}\right)^2}{r^5} x_i x_j+\cdots\right) d \mathbf{r}^{\prime}$$
Equation (8.75) can be considered sum of three contributions, namely, $\mathbf{A}_0, \mathbf{A}_1$ and $\mathbf{A}_3$, if we neglect higher order term in the expansion.

The first term, which corresponds to the monopole term in the electrostatic expansion, is
$$\mathbf{A}_0(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4 \pi r} \int_V \mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d \mathbf{r}^{\prime}=\frac{\mu_0}{4 \pi r} \int_A\left(\nabla \cdot \mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\right) d A$$
where the integration is over the surface enclosing the volume $V$ and Stokes’ formula is used. Using the continuity equation of the current density $(\rho=0)$ :
$$\nabla \cdot \mathbf{J}=0$$
we obtain
$$\mathbf{A}_0(\mathbf{r})=0$$

## 物理代写|电磁学代写Electromagnetism代考|Vector Potential

$$\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \nabla \times \int_V \frac{\mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|} d \mathbf{r}^{\prime}$$

$$\nabla\left(\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}\right)=-\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|^3}$$

$$\frac{I d \mathbf{s} \times \hat{\mathbf{r}}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|^2}=-d \mathbf{r}^{\prime} \frac{\left(\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right) \times \mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|^3}$$

$$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4 \pi} \int_V \frac{\mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|} d \mathbf{r}^{\prime}$$

$$\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r})$$

## 物理代写|电磁学代写Electromagnetism代考|Multipole Expansion

$$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4 \pi} \int_V \mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\left(\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}^{\prime} \cdot \mathbf{r}}{r^3}+\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^3 \frac{3 x_i^{\prime} x_j^{\prime}-\delta_{i j}\left(r^{\prime}\right)^2}{r^5} x_i x_j+\cdots\right) d \mathbf{r}^{\prime}$$

$$\mathbf{A}_0(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4 \pi r} \int_V \mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d \mathbf{r}^{\prime}=\frac{\mu_0}{4 \pi r} \int_A\left(\nabla \cdot \mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\right) d A$$

$$\nabla \cdot \mathbf{J}=0$$

$$\mathbf{A}_0(\mathbf{r})=0$$

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